如圖,平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交於點O,AE平分∠BAD,分別交BC、BD於點E、P,連接OE,...
問題詳情:
如圖,平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交於點O,AE平分∠BAD,分別交BC、BD於點E、P,連接OE,∠ADC=60°,AB=BC=1,則下列結論:
①∠CAD=30°②BD=③S平行四邊形ABCD=AB•AC④OE=AD⑤S△APO=,正確的個數是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【回答】
C分析】①先根據角平分線和平行得:∠BAE=∠BEA,則AB=BE=1,由有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形得:△ABE是等邊三角形,由外角的*質和等腰三角形的*質得:∠ACE=30°,最後由平行線的*質可作判斷;
②先根據三角形中位線定理得:OE=AB=,OE∥AB,根據勾股定理計算OC==和OD的長,可得BD的長;
③因為∠BAC=90°,根據平行四邊形的面積公式可作判斷;
④根據三角形中位線定理可作判斷;
⑤根據同高三角形面積的比等於對應底邊的比可得:S△AOE=S△EOC=OE•OC=,=,代入可得結論.
【解答】解:①∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,∠ABC=∠ADC=60°,
∴∠DAE=∠BEA,
∴∠BAE=∠BEA,
∴AB=BE=1,
∴△ABE是等邊三角形,
∴AE=BE=1,
∵BC=2,
∴EC=1,
∴AE=EC,
∴∠EAC=∠ACE,
∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°,
∴∠ACE=30°,
∵AD∥BC,
∴∠CAD=∠ACE=30°,
故①正確;
②∵BE=EC,OA=OC,
∴OE=AB=,OE∥AB,
∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°,
Rt△EOC中,OC==,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴∠BCD=∠BAD=120°,
∴∠ACB=30°,
∴∠ACD=90°,
Rt△OCD中,OD==,
∴BD=2OD=,
故②正確;
③由②知:∠BAC=90°,
∴S▱ABCD=AB•AC,
故③正確;
④由②知:OE是△ABC的中位線,
∴OE=AB,
故④不正確;
⑤∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴OA=OC=,
∴S△AOE=S△EOC=OE•OC==,
∵OE∥AB,
∴,
∴=,
∴S△AOP===;
故⑤正確;
本題正確的有:①②③⑤,4個,
故選:C.
【點評】本題考查了平行四邊形的*質、等腰三角形的*質、直角三角形30度角的*質、三角形面積和平行四邊形面積的計算;熟練掌握平行四邊形的*質,*△ABE是等邊三角形是解決問題的關鍵,並熟練掌握同高三角形面積的關係.
知識點:各地中考
題型:選擇題