如圖，以△ABC的各邊為邊長，在邊BC的同側分別作正方形ABDI，正方形BCFE，正方形ACHG，連接AD，D...

問題詳情：

如圖，以△ABC的各邊為邊長，在邊BC的同側分別作正方形ABDI，正方形BCFE，正方形ACHG，連接AD，DE，EG．

（1）求*：△BDE≌△BAC；

（2）①設∠BAC＝α，請用含α的代數式表示∠EDA，∠DAG；

②求*：四邊形ADEG是平行四邊形；

（3）當△ABC滿足什麼條件時，四邊形ADEG是正方形？請説明理由．

【回答】

（1）*：∵四邊形ABDI、四邊形BCFE、四邊形ACHG都是正方形，

∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．

∴∠ABC＝∠EBD（同為∠EBA的餘角）．

在△BDE和△BAC中，

，

∴△BDE≌△BAC（SAS），

（2）①解：∵△BDE≌△BAC，∠ADB＝45°，

∴∠EDA＝α﹣45°，

∵∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣α＝225°﹣α，

②*：∵△BDE≌△BAC，

∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．

∵AD是正方形ABDI的對角線，

∴∠BDA＝∠BAD＝45°．

∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，

∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD

＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°

＝225°﹣∠BAC

∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°

∴DE∥AG，

∴四邊形ADEG是平行四邊形（一組對邊平行且相等）．

（3）解：結論：當四邊形ADEG是正方形時，∠DAG＝90°，且AG＝AD．

理由：由①知，當∠DAG＝90°時，∠BAC＝135°．

∵四邊形ABDI是正方形，

∴AD＝AB．

又∵四邊形ACHG是正方形，

∴AC＝AG，

∴AC＝AB．

∴當∠BAC＝135°且AC＝AB時，四邊形ADEG是正方形．

知識點：特殊的平行四邊形

題型：解答題