如圖,正方形ABCD和正方形CEFG邊長分別為a和b,正方形CEFG繞點C旋轉,給出下列結論:①BE=DG;②...
問題詳情:
如圖,正方形ABCD和正方形CEFG邊長分別為a和b,正方形CEFG繞點C旋轉,給出下列結論:①BE=DG;②BE⊥DG;③DE2+BG2=2a2+2b2,其中正確結論有( )
A.0個 B.1個 C.2個 D.3個
【回答】
D
【解析】
分析:由四邊形ABCD與四邊形EFGC都為正方形,得到四條邊相等,四個角為直角,利用SAS得到三角形BCE與三角形DCG全等,利用全等三角形對應邊相等即可得到BE=DG,利用全等三角形對應角相等得到∠CBM=∠MDO,利用等角的餘角相等及直角的定義得到∠BOD為直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可.
詳解:①∵四邊形ABCD和EFGC都為正方形,
∴CB=CD,CE=CG,∠BCD=∠ECG=90°,
∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE,即∠BCE=∠DCG.
在△BCE和△DCG中,CB=CD,∠BCE=∠DCG,CE=CG,
∴△BCE≌△DCG,
∴BE=DG,
故結論①正確.
②如圖所示,設BE交DC於點M,交DG於點O.
由①可知,△BCE≌△DCG,
∴∠CBE=∠CDG,即∠CBM=∠MDO.
又∵∠BMC=∠DMO,∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC,∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO,
∴∠DOM=∠MCB=90°,
∴BE⊥DG.
故②結論正確.
③如圖所示,連接BD、EG,
由②知,BE⊥DG,
則在Rt△ODE中,DE2=OD2+OE2,
在Rt△BOG中,BG2=OG2+OB2,
在Rt△OBD中,BD2=OD2+OB2,
在Rt△OEG中,EG2=OE2+OG2,
∴DE2+BG2=(OD2+OE2)+(OB2+OG2)=(OD2+OB2)+(OE2+OG2)=BD2+EG2.
在Rt△BCD中,BD2=BC2+CD2=2a2,
在Rt△CEG中,EG2=CG2+CE2=2b2,
∴BG2+DE2=2a2+2b2.
故③結論正確.
故選:D.
點睛:本題考查了旋轉的*質、全等三角形的判定與*質、正方形的*質.
知識點:全等三角形
題型:選擇題