在平面直角座標系中,點 A(－2,0),B(2,0),C(0,2),點 D,點E分別是 AC,BC的中點,將△...

問題詳情：

在平面直角座標系中,點 A(－2,0),B(2,0),C(0,2),點 D,點E分別是 AC,BC的中點,將△CDE繞點C逆時針旋轉得到△CD′E′,旋轉角為α,連接 AD′,BE′. (Ⅰ)如圖①,若 0°＜α＜90°,當 AD′∥CE′時,求α的大小; (Ⅱ)如圖②,若 90°＜α＜180°,當點 D′落在線段 BE′上時,求 sin∠CBE′的值; (Ⅲ)若直線AD′與直線BE′相交於點P,求點P的橫座標m的取值範圍.

【回答】

解:(Ⅰ)如解圖①,∵A(-2,0),B(2,0),C(0,2),

∴OA=OB=OC,∴∠ACB=90°,

∵△CD′E′是△CDE旋轉得到的,

∴∠D′CE′=90°, ∵AD′∥CE′,∴∠AD′C=∠D′CE′=90°,

∵D為AC的中點,∴CD=AC,

∵CD=CD′,∴CD′=AC, 在Rt△ACD′中,cosα==, ∴α=60°; (Ⅱ)設F為D′E′的中點，連接CF,如解圖②,

∵CD′=CE′,∠E′CD′=90°,

∴CF⊥BE′,CF=D′E′=1, 又∵BC==2, ∴在Rt△BCF中,sin∠CBE′=; (Ⅲ)如解圖③中,以C為圓心,CD′為半徑作⊙C,當BE′與⊙C相切時AP最長,則四邊形CD′PE′是正方形,作PH⊥AB於H. ∵CD′=CD=AC=,

∴⊙C的半徑為,

∵在Rt△ACD′中,AD′=,

∴AP=AD′＋PD′=＋, ∵cos∠PAB=,∴AH=2＋, ∴點P橫座標的最大值為. 如解圖④中,當BE′與⊙C相切時AP最短,則四邊形CD′PE′是正方形,作PH⊥AB於H. 根據對稱*可知OH=, ∴點P橫座標的最小值為－, ∴點P橫座標的取值範圍為－≤m≤.

     圖①             圖②

      圖③           圖④

知識點：圖形的旋轉

題型：綜合題