如圖,在平面直角座標系中,正方形OBCD的點B的座標為(2,0),E,F分別為邊BC,CD上的點,且BE=CF...

問題詳情：

如圖,在平面直角座標系中,正方形OBCD的點B的座標為(2,0),E,F分別為邊BC,CD上的點,且BE=CF,連接OE,BF,交點為G,將△BCF沿BF對摺,得到△BPF,延長FP交x軸於點Q. (Ⅰ)求*:OE⊥BF; (Ⅱ)若E為BC的中點,求點Q的座標; (Ⅲ)設點E的座標為(2,n),點Q的座標為(－m,0),請寫出m關於n的函數關係式.

第3題圖

【回答】

解:(Ⅰ)在△BEO和△CFB中,, ∴△BEO≌△CFB, ∴∠BEO=∠CFB, ∵∠CFB＋∠CBF=90°, ∴∠BEO＋∠CBF=90°, ∴∠EGB=180°－90°=90°, ∴OE⊥BF; (Ⅱ)如解圖，由摺疊的*質得∠1=∠2,BP=BC=2,

FP=FC=BE=1,

∵CD∥OB,

∴∠2=∠FBQ,

∴∠1=∠FBQ,

∴QF=QB,

設QB=x,則PQ=x－1,

在Rt△BPQ中，QB2=PB2+PQ2,

即x2=22+(x-1)2,

解得x=,

∴QO=QB-OB=-2=,

∴點Q的座標是(－,0); (Ⅲ)如解圖，過點F作FH⊥OB於點H,

則四邊形BCFH為矩形,即CF=BH,

∵點E的座標為(2,n),BE=CF, ∴CF=BH=BE=n,

由摺疊的*質可得BC=BP=2,BP⊥QF,

∵S△FBQ=QB·FH=QF·BP,

∴QB=QF,

∵QB=OB+OQ=m+2,

在Rt△QFH中,由勾股定理得QF2=FH2+QH2,即(m+2)2=(m+2-n)2+22,

∴m=.

  第3題解圖

知識點：勾股定理

題型：解答題