如圖，在長方體中，點分別在稜上，且，．（1）*：點在平面內；（2）若，，，求二面角的正弦值．
來源：國語幫 1.66W
問題詳情：
如圖，在長方體
中，點
分別在稜
上，且
，
．
（1）*：點
在平面
內；
（2）若
，
，
，求二面角
的正弦值．
【回答】
（1）*見解析；（2）
.
【解析】
【分析】
（1）連接
、
，*出四邊形
為平行四邊形，進而可*得點
在平面
內；
（2）以點
為座標原點，
、
、
所在直線分別為
、
、
軸建立空間直角座標系
，利用空間向量法可計算出二面角
的餘弦值，進而可求得二面角
的正弦值.
【詳解】（1）在稜
上取點
，使得
，連接
、
、
、
，
在長方體
中，
且
，
且
，
，
，
且
，
所以，四邊形
為平行四邊形，則
且
，
同理可*四邊形
為平行四邊形，
且
，
且
，則四邊形
為平行四邊形，
因此，點
在平面
內；
（2）以點
為座標原點，
、
、
所在直線分別為
、
、
軸建立如下圖所示的空間直角座標系
，
則
、
、
、
，
，
，
，
，
設平面
的法向量為
，
由
，得
取
，得
，則
，
設平面
的法向量為
，
由
，得
，取
，得
，
，則
，
，
設二面角
的平面角為
，則
，
.
因此，二面角
的正弦值為
.
【點睛】本題考查點在平面的*，同時也考查了利用空間向量法求解二面角角，考查推理能力與計算能力，屬於中等題.
知識點：點 直線 平面之間的位置
題型：解答題
