如圖，在直三稜柱中，是的中點.（1）求*：平面；（2）若是正三角形，且，求直線與平面所成角的正弦值。
來源：國語幫 3.3W
問題詳情：
如圖，在直三稜柱
中，
是
的中點.
（1）求*：
平面
；
（2）若
是正三角形，且
，求直線
與平面
所成角的正弦值。
【回答】
試題解析：（1）連接
，設
與
的交點為
，則
為
的中點，連接
，又
是
的中點，所以
.又
平面
，
平面
，所以
平面
.
（2）
是
的中點，
是正三角形，則
，
，
，
設
，則
，以
為
軸，
為
軸，
為
軸建立空間直角座標系.
則
，
，
，
，
，
， 
.
設
是平面
的法向量，則
，可取平面
的法向量為
，則
，所以直線
與平面
所成角的正弦值為
.
【點睛】空間向量在立體幾何中的應用
(1)兩條異面直線所成角的求法：設兩條異面直線a，b的方向向量為a，b，其夾角為θ，則cos φ＝|cos θ|＝
(其中φ為異面直線a，b所成的角)．
(2)直線和平面所成的角的求法：如圖所示，設直線l的方向向量為e，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為φ，兩向量e與n的夾角為θ，則有sin φ＝|cos θ|＝
.
(3)求二面角的大小：①如圖①，AB，CD是二面角α－l－β的兩個面內與稜l垂直的直線，則二面角的大小θ＝
②如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ＝〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．
知識點：點 直線 平面之間的位置
題型：解答題
