如圖，在三稜柱中，已知平面，，，.(1)求*：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.
來源：國語幫 2.23W
問題詳情：
如圖，在三稜柱
中，
已知
平面
，
，
，
.
(1)求*：
；
(2)求直線
與平面
所成角的正弦值.
【回答】
解：（1）如圖，連接
，因為
平面
，
平面
，
平面
，所以
，
. ..........................................1分
又
，所以四邊形
為正方形，所以
.
因為
，所以
.又
平面
，
平面
，
，所以，
平面
...........................................3分
因為
平面
，所以
.
又
平面
，
平面
，
，所以
平面
.因為
平面
，所以
...............................5分
（2）解法1:在
中，
，
，
，所以
.
又
平面
，
，所以三稜錐
的體積
........7分
易知
，
，
，
所以
................................8分
設點
到平面
的距離為
，則三稜錐
的體積
，
由等體積法可知
，則
，解得
.設直線
與平面
所成的角為
，則
，故直線
與平面
所成角的正弦值為
..............10分
解法2：(2)由（1）知，
，
，
兩兩垂直，以
為座標原點，以
，
，
所在的直線分別為
，
，
軸，建立如圖所示的空間直角座標系.因為
，
.
所以
，
，
，
，........6分
所以
，
，
...............7分
設平面
的法向量為
，則
，即
，
令
，
，所以
為平面
的一個法向量，
則
....................... 9分
設直線
與平面
所成的角為
，則
，
故直線
與平面
所成角的正弦值為
.......................10分
知識點：點 直線 平面之間的位置
題型：解答題
