如圖，在△ABC中，AB=AC，D為邊BC上一點，以AB，BD為鄰邊作▱ABDE，連接AD，EC．（1）求*：...

問題詳情：

如圖，在△ABC中，AB=AC，D為邊BC上一點，以AB，BD為鄰邊作▱ABDE，連接AD，EC．

（1）求*：△ADC≌△ECD；

（2）若BD=CD，求*：四邊形ADCE是矩形．

【回答】

【考點】矩形的判定；全等三角形的判定與*質；等腰三角形的*質；平行四邊形的*質．

【分析】（1）根據平行四邊形的*質、等腰三角形的*質，利用全等三角形的判定定理SAS可以*得△ADC≌△ECD；

（2）利用等腰三角形的“三合一”*質推知AD⊥BC，即∠ADC=90°；由平行四邊形的判定定理（對邊平行且相等是四邊形是平行四邊形）*得四邊形ADCE是平行四邊形，所以有一個角是直角的平行四邊形是矩形．

【解答】*：（1）∵四邊形ABDE是平行四邊形（已知），

∴AB∥DE，AB=DE（平行四邊形的對邊平行且相等）；

∴∠B=∠EDC（兩直線平行，同位角相等）；

又∵AB=AC（已知），

∴AC=DE（等量代換），∠B=∠ACB（等邊對等角），

∴∠EDC=∠ACD（等量代換）；

∵在△ADC和△ECD中，

，

∴△ADC≌△ECD（SAS）；

（2）∵四邊形ABDE是平行四邊形（已知），

∴BD∥AE，BD=AE（平行四邊形的對邊平行且相等），

∴AE∥CD；

又∵BD=CD，

∴AE=CD（等量代換），

∴四邊形ADCE是平行四邊形（對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）；

在△ABC中，AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BC（等腰三角形的“三合一”*質），

∴∠ADC=90°，

∴▱ADCE是矩形．

【點評】本題綜合考查了平行四邊形的判定與*質、全等三角形的判定以及矩形的判定．注意：矩形的判定定理是“有一個角是直角的‘平行四邊形’是矩形”，而不是“有一個角是直角的‘四邊形’是矩形”．

知識點：特殊的平行四邊形

題型：解答題