如圖，在▱ABCD中，分別以AB、AD為邊向外作等邊△ABE、△ADF，延長CB交AE於點G，點G在點A、E之...

問題詳情：

如圖，在▱ABCD中，分別以AB、AD為邊向外作等邊△ABE、△ADF，延長CB交AE於點G，點G在點A、E之間，連接CE、CF，EF，則以下四個結論一定正確的是（　　）

①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等邊三角形；④CG⊥AE．

A．只有①②     B．只有①②③ C．只有③④     D．①②③④

【回答】

B【考點】平行四邊形的*質；全等三角形的判定與*質；等邊三角形的*質；等邊三角形的判定．

【專題】壓軸題．

【分析】根據題意，結合圖形，對選項一一求*，判定正確選項．

【解答】解：∵△ABE、△ADF是等邊三角形

∴FD=AD，BE=AB

∵AD=BC，AB=DC

∴FD=BC，BE=DC

∵∠B=∠D，∠FDA=∠ABE

∴∠CDF=∠EBC

∴△CDF≌△EBC，故①正確；

∵∠FAE=∠FAD+∠EAB+∠BAD=60°+60°+（180°﹣∠CDA）=300°﹣∠CDA，

∠FDC=360°﹣∠FDA﹣∠ADC=300°﹣∠CDA，

∴∠CDF=∠EAF，故②正確；

同理可得：∠CBE=∠EAF=∠CDF，

∵BC=AD=AF，BE=AE，

∴△EAF≌△EBC，

∴∠AEF=∠BEC，

∵∠AEF+∠FEB=∠BEC+∠FEB=∠AEB=60°，

∴∠FEC=60°，

∵CF=CE，

∴△ECF是等邊三角形，故③正確；

在等邊三角形ABE中，

∵等邊三角形頂角平分線、底邊上的中線、高和垂直平分線是同一條線段

∴如果CG⊥AE，則G是AE的中點，∠ABG=30°，∠ABC=150°，題目缺少這個條件，CG⊥AE不能求*，故④錯誤．

故選B．

【點評】本題考查了全等三角形的判定、等邊三角形的判定和*質、平行四邊形的*質等知識，綜合*強．考查學生綜合運用數學知識的能力．

知識點：平行四邊形

題型：解答題