如圖，是拋物線y1＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分，拋物線的頂點座標是A（1，3），與x軸的一個交點B...

問題詳情：

如圖，是拋物線y1＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分，拋物線的頂點座標是A（1，3），與x軸的一個交點B（4，0），直線y2＝mx+n（m≠0）與拋物線交於A，B兩點，下列結論：①2a+b＝0；m+n＝3；②拋物線與x軸的另一個交點是（﹣1，0）；③方程ax2+bx+c＝3有兩個相等的實數根；④當1x4時，有y2y1；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，則x1+x2＝1．正確的為（　　）

A．①④⑤                  B．①③④                   C．①③⑤                  D．①②③

【回答】

B

【分析】

①根據對稱軸方程x＝﹣＝1，可得2a+b＝0是正確的，將點A代入到直線y2＝mx+n（m≠0）可得m+n＝3，

②根據軸對稱的*質，由點B（4，0）關於直線x＝1的對稱點座標為（﹣2，0）來判斷；

③由直線y=3過拋物線y=ax2+bx+c的頂點A（1，3）可判斷方程ax2+bx+c＝3有兩個相等的實數根；

④根據函數的圖像來回答即可；

⑤將ax12+bx1＝ax22+bx2兩邊同時加上c，即ax12+bx1+c＝ax22+bx2+c，即y1＝y2，可得關於對稱軸對稱，可得．

【詳解】

解：①∵對稱軸x＝﹣＝1，則2a+b＝0，

將點A（1，3）、B（4，0）代入直線AB的表達式： ，

解，得，

∴m+n＝3，

故①正確，符合題意；

②∵對稱軸為直線x＝1，

∴點B（4，0）關於對稱軸直線x＝1的對稱點為（﹣2，0），

故②錯誤，不符合題意；

③如圖，∵直線y=3過拋物線頂點 A（1，3），

∴拋物線y=ax2+bx+c直線y=3只有一個公共點；

∴方程ax2+bx+c＝3有兩個相等的實數根，

故③正確，符合題意；

④當1＜x＜4時，由圖象可知y2＜y1，故④正確，符合題意；

⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，即ax12+bx1+c＝ax22+bx2+c，即y1＝y2，

∴關於對稱軸對稱

∴（x1+x2）＝1，

故⑤錯誤，不符合題意；

故選：B．

【點睛】

本題為二次函數綜合題，考查了二次函數圖象*質和從函數的觀點看待方程和不等式，解答關鍵是數形結合．

知識點：二次函數單元測試

題型：選擇題