如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，點D，E分別是邊BC，AC的中點，連接DE，將△ED...
問題詳情：
如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，點D，E分別是邊BC，AC的中點，連接DE，將△EDC繞點C按順時針方向旋轉，記旋轉角為α.
（1）問題發現
① 當
時，
；② 當
時，
（2）拓展探究
試判斷：當0°≤α＜360°時，
的大小有無變化？請僅就圖2的情況給出*.
（3）問題解決
當△EDC旋轉至A、D、E三點共線時，直接寫出線段BD的長.
【回答】
（1）①
,②
.（2）無變化；理由參見解析.（3）
，
.
【分析】
（1）①當α=0°時，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然後根據點D、E分別是邊BC、AC的中點，分別求出AE、BD的大小，即可求出
的值是多少．
②α=180°時，可得AB∥DE，然後根據
，求出
的值是多少即可．
（2）首先判斷出∠ECA=∠DCB，再根據
，判斷出△ECA∽△DCB，即可求出
的值是多少，進而判斷出
的大小沒有變化即可．
（3）根據題意，分兩種情況：①點A，D，E所在的直線和BC平行時；②點A，D，E所在的直線和BC相交時；然後分類討論，求出線段BD的長各是多少即可．
【詳解】
（1）①當α=0°時，
∵Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC=
，
∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，
∴
,BD=8÷2=4，
∴
．
②如圖1，
，
當α=180°時，
可得AB∥DE，
∵
，
∴
（2）如圖2，
，
當0°≤α＜360°時，
的大小沒有變化，
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠ECA=∠DCB，
又∵
，
∴△ECA∽△DCB，
∴
．
（3）①如圖3，
，
∵AC=4
，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=
∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴BD=AC=
．
②如圖4，連接BD，過點D作AC的垂線交AC於點Q，過點B作AC的垂線交AC於點P，
，
∵AC=
，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=
，
∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，
∴DE=
=2，
∴AE=AD-DE=8-2=6，
由（2），可得
，
∴BD=
．
綜上所述，BD的長為
或
．
知識點：相似三角形
題型：解答題
