如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分別為邊AB、BC的中點，連結DE...

問題詳情：

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分別為邊AB、BC的中點，連結DE，點P從點A出發，沿折線AD－DE－EB運動，到點B停止．點P在AD上以cm/s的速度運動，在折線DE－EB上以1cm/s的速度運動．當點P與點A不重合時，過點P作PQ⊥AC於點Q，以PQ為邊作正方形PQMN，使點M落在線段AC上．設點P的運動時間為t(s).

（1）當點P在線段DE上運動時，線段DP的長為______cm,（用含t的代數式表示）．

（2）當點N落在AB邊上時，求t的值．

（3）當正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時，設五邊形的面積為S（cm²），求S與t的函數關係式．

（4）連結CD．當點N於點D重合時，有一點H從點M出發，在線段MN上以2.5cm/s的速度沿M-N-M連續做往返運動，直至點P與點E重合時，點H停止往返運動；當點P在線段EB上運動時，點H始終在線段MN的中心處．直接寫出在點P的整個運動過程中，點H落在線段CD上時t的取值範圍．

【回答】

（1）t－2（2）t=4或t=（3）（4）t=或t=5或

6≤t≤8。

【解析】解：（1）t－2。

（2）當點N落在AB邊上時，有兩種情況：

（3）當正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時，有兩種情況：

①當2＜t＜4時，如圖（3）a所示。

DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t，AQ=AC-CQ=2+t，AM=AQ-MQ=t。

∵MN∥BC，∴△AFM∽△ABC。∴FM：BC = AM：AC=1：2，即FM：AM=BC：AC=1：2。

∴FM=AM=t．

 ∴

 。

②當＜t＜8時，如圖（3）b所示。

PE=t-6，∴PC=CM=PE+CE=t-4，AM=AC-CM=12-t，PB=BE-PE=8-t，

∴FM=AM=6-t，PG=2PB=16-2t，

∴

 。

綜上所述，S與t的關係式為：。

（4）在點P的整個運動過程中，點H落在線段CD上時t的取值範圍是：t=或t=5或

6≤t≤8。

（4）本問涉及雙點的運動，首先需要正確理解題意，然後弄清點H、點P的運動過程：

依題意，點H與點P的運動分為兩個階段，如下圖所示：

①當4＜t＜6時，此時點P在線段DE上運動，如圖（4）a所示。

此階段點P運動時間為2s，因此點H運動距離為2.5×2=5cm，而MN=2，

則此階段中，點H將有兩次機會落在線段CD上：

第一次：此時點H由M→H運動時間為（t－4）s，運動距離MH=2.5（t－4），

∴NH=2－MH=12－2.5t。

又DP=t-2，DN=DP－2=t－4，

由DN=2NH得到：t－4=2（12－2.5t），解得t=。

綜上所述，在點P的整個運動過程中，點H落在線段CD上時t的取值範圍是：t=或t=5或6≤t≤8。

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題