在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D、E分別是AC、BC上的一點，且DE=3， 若以DE為直...

問題詳情：

在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D、E分別是AC、BC上的一點，且DE=3，  若以DE為直徑的圓與斜邊AB相交於M、N，則MN的最大值為（    ）

A．                       B．                         C．                         D．

【回答】

D

【解析】

根據題意有C、O、G三點在一條直線上OG最小，MN最大，根據勾股定理求得AB，根據三角形面積求得CF，然後根據垂徑定理和勾股定理即可求得MN的最大值．

【詳解】

解：取DE的中點O，過點O作OG⊥MN於點G，作CH⊥AB於點H.

∴，

當弦心距OG最短時，MN取最大值，

∴當點C，O，G三點共線時，即當點O在CH上時，MN取最大值，

連接OM.

∵∠C=90°，BC=3，AC=4，

∴CH==2.4

∴OH=2.4-1.5=0.9，

∴OM=1.5，

則在Rt△MOH中，由勾股定理得MH=1.2，

根據垂徑定理，MN=2MH=2.4.

故選D.

【點睛】

本題實質是求圓中的弦的最大值的問題，圓中弦的弦心距越小，弦越大，所以當弦MN的弦心距最小時，MN的值最大．直角三角形斜邊上的高是一個定值，圓的半徑也是一個定值，所以當點C，O，G三點共線時，弦心距OH最小，此時MN最大，再構造直角三角形，結合垂徑定理，勾股定理則可解決問題．

知識點：勾股定理

題型：選擇題