已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D、E分別在BC、AC邊上，連結BE、AD交於點P，設AC=kBD，C...

問題詳情：

已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D、E分別在BC、AC邊上，連結BE、AD交於點P，設AC=kBD，CD=kAE，k為常數，試探究∠APE的度數：

（1）如圖1，若k=1，則∠APE的度數為      ；

（2）如圖2，若k=，試問（1）中的結論是否成立？若成立，請説明理由；若不成立，求出∠APE的度數．

（3）如圖3，若k=，且D、E分別在CB、CA的延長線上，（2）中的結論是否成立，請説明理由．

【回答】

解：（1）如圖1，過點A作AF∥CB，過點B作BF∥AD相交於F，連接EF，∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四邊形ADBF是平行四邊形，∴BD=AF，BF=AD．

∵AC=BD，CD=AE，∴AF=AC．

∵∠FAC=∠C=90°，∴△FAE≌△ACD，∴EF=AD=BF，∠FEA=∠ADC．

∵∠ADC+∠CAD=90°，∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD．

∵AD∥BF，∴∠EFB=90°．

∵EF=BF，∴∠FBE=45°，∴∠APE=45°．

 故*為：45°．

（2）（1）中結論不成立，理由如下：

如圖2，過點A作AF∥CB，過點B作BF∥AD相交於F，連接EF，∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四邊形ADBF是平行四邊形，∴BD=AF，BF=AD．

∵AC=BD，CD=AE，∴．

∵BD=AF，∴．

∵∠FAC=∠C=90°，∴△FAE∽△ACD，∴ =，∠FEA=∠ADC．

∵∠ADC+∠CAD=90°，∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD．∵AD∥BF，∴∠EFB=90°．在Rt△EFB中，tan∠FBE=，∴∠FBE=30°，∴∠APE=30°，（3）（2）中結論成立，如圖3，作EH∥CD，DH∥BE，EH，DH相交於H，連接AH，∴∠APE=∠ADH，∠HEC=∠C=90°，四邊形EBDH是平行四邊形，∴BE=DH，EH=BD．

∵AC=BD，CD=AE，∴．

∵∠HEA=∠C=90°，∴△ACD∽△HEA，∴，∠ADC=∠HAE．

∵∠CAD+∠ADC=90°，∴∠HAE+∠CAD=90°，∴∠HAD=90°．在Rt△DAH中，tan∠ADH==，∴∠ADH=30°，∴∠APE=30°．

知識點：各地中考

題型：綜合題