在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3,點D是斜邊AB上一動點(點D與點A、B不重合),連接CD,...
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問題詳情:
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3,點D是斜邊AB上一動點(點D與點A、B不重合),連接CD,將CD繞點C順時針旋轉90°得到CE,連接AE,DE.
(1)求△ADE的周長的最小值;
(2)若CD=4,求AE的長度.
【回答】
(1)6+;(2)3﹣或3+
【分析】
(1)根據勾股定理得到AB=AC=6,根據全等三角形的*質得到AE=BD,當DE最小時,△ADE的周長最小,過點C作CF⊥AB於點F,於是得到結論;
(2)當點D在CF的右側,當點D在CF的左側,根據勾股定理即可得到結論
【詳解】
解:(1)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3
∴AB=AC=6,
∵∠ECD=∠ACB=90°,
∴∠ACE=∠BCD,
在△ACE與△BCD中, ,
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴AE=BD,
∴△ADE的周長=AE+AD+DE=AB+DE,
∴當DE最小時,△ADE的周長最小,
過點C作CF⊥AB於點F,
當CD⊥AB時,CD最短,等於3,此時DE=3,
∴△ADE的周長的最小值是6+3;
(2)當點D在CF的右側,
∵CF=AB=3,CD=4,
∴DF=,
∴AE=BD=BF﹣DF=3﹣;
當點D在CF的左側,同理可得AE=BD=3+,
綜上所述:AE的長度為3﹣或3+.
【點睛】
本題考查旋轉的*質,全等三角形的判定與*質,勾股定理,解題的關鍵是熟練運用旋轉的*質以及全等三角形的判定與*質.
知識點:三角形全等的判定
題型:解答題