如圖，點C為△ABD外接圓上的一動點（點C不在上，且不與點B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°．（1）求*...

問題詳情：

如圖，點C為△ABD外接圓上的一動點（點C不在上，且不與點B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°．

（1）求*：BD是該外接圓的直徑；

（2）連結CD，求*：AC=BC+CD；

（3）若△ABC關於直線AB的對稱圖形為△ABM，連接DM，試探究,三者之間滿足的等量關係，並*你的結論．

【回答】

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）DM2＝BM2＋2MA2,理由詳見解析.

【詳解】

試題分析：（1）易*△ABD為等腰直角三角形，即可判定BD是該外接圓的直徑；（2）如圖所示作CA⊥AE，延長CB交AE於點E，再*△ACE為等腰直角三角形，可得AC＝AE，再由勾股定理即可得；利用SAS判定△ABE≌△ADC，可得BE＝DC，所以CE＝BE＋BC，所以CE＝DC＋BC＝；（3）延長MB交圓於點E，連結AE、DE，因∠BEA=∠ACB=∠BMA=45°，在△MAE中有MA=AE，∠MAE=90°，由勾股定理可得，再*∠BED=90°，在Rt△MED中，有，所以.

試題解析：（1）∵弧AB＝弧AB，

∴∠ADB＝∠ACB,

又∵∠ACB＝∠ABD＝45°,

∴∠ABD＝∠ADB＝45°,

∴∠BAD＝90°,

∴△ABD為等腰直角三角形,

∴BD是該外接圓的直徑,

（2）如圖所示作CA⊥AE，延長CB交AE於點E

∵∠ACB＝45°，CA⊥AE,

∴△ACE為等腰直角三角形,

∴AC＝AE,

由勾股定理可知CE2＝AC2＋AE2＝2AC2,

∴,

由（1）可知△ABD為等腰直角三角形,

∴AB＝AD,∠BAD＝90°,

又∵∠EAC＝90°,

∴∠EAB＋∠BAC＝∠DAC＋∠BAC,

∴∠EAB＝∠DAC,

∴在△ABE和△ADC中,

∴△ABE≌△ADC（SAS）,

∴BE＝DC ,

∴CE＝BE＋BC＝DC＋BC＝,

（3）DM2＝BM2＋2MA2,

延長MB交圓於點E，連結AE、DE,

∵∠BEA=∠ACB=∠BMA=45°,

∴在△MAE中有MA=AE，∠MAE=90°,

∴,

又∵AC=MA=AE,

∴,

又∵,

∴,

即,

∴DE=BC=MB,

∵BD為直徑,

∴∠BED=90°,

在RT△MED中，有,

∴.

考點：圓的綜合題.

知識點：三角形全等的判定

題型：解答題