如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為AB上一點，連接CD，將CD繞點C順時針旋轉90°至C...
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問題詳情：
如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為AB上一點，連接CD，將CD繞點C順時針旋轉90°至CE，連接AE．
（1）連接ED，若CD=
，AE=4，求AB的長；
（2）如圖2，若點F為AD的中點，連接EB、CF，求*：CF⊥EB．
【回答】
【解答】解：（1）如圖1，由旋轉可得，EC=DC=
，∠ECD=90°=∠
ACB，
∴∠BCD=∠ACE，
又∵AC=BC，
∴△BCD≌△ACE，
∴AE=BD=4，∠CAE=∠B=45°=∠CAB，
∴∠EAD=90°，
∵CD2+EC2=DE2=AE2+AD2，
∴AD=
=
，
∴AB=AD+DB=
+4；
（2）如圖2，過C作CG⊥AB於G，則AG=
AB，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴CG=
AB，即
，
∵點F為AD的中點，
∴FA=AD，
∴FG=AG﹣AF=AB﹣
AD=（AB﹣AD）=
BD，
由（1）可得，BD=AE，
∴FG=
AE，即
，
∴
，
又∵∠CGF=∠BAE=90°，
∴△CGF∽△BAE，
∴∠FCG=∠ABE，
∵∠FCG+∠CFG=90°，
∴∠ABE+∠∠CFG=90°，
∴CF⊥BE．
知識點：勾股定理
題型：解答題
