已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點M是斜邊AB的中點，MD∥BC，且MD=CM，DE⊥AB於點...

問題詳情：

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點M是斜邊AB的中點，MD∥BC，且MD=CM，DE⊥AB於點E，連結AD、CD．

（1）求*：△MED∽△BCA；

（2）求*：△AMD≌△CMD；

（3）設△MDE的面積為S1，四邊形BCMD的面積為S2，當S2=S1時，求cos∠ABC的值．

【回答】

【解答】解：（1）∵MD∥BC，

∴∠DME=∠CBA，

∵∠ACB=∠MED=90°，

∴△MED∽△BCA，

（2）∵∠ACB=90°，點M是斜邊AB的中點，

∴MB=MC=AM，

∴∠MCB=∠MBC，

∵∠DMB=∠MBC，

∴∠MCB=∠DMB=∠MBC，

∵∠AMD=180°﹣∠DMB，

∠CMD=180°﹣∠MCB﹣∠MBC+∠DMB=180°﹣∠MBC

∴∠AMD=∠CMD，

在△AMD與△CMD中，

△AMD≌△CMD（SAS）

（3）∵MD=CM，

∴AM=MC=MD=MB，

∴MD=2AB，

由（1）可知：△MED∽△BCA，

∴==，

∴S△ACB=4S1，

∵CM是△ACB的中線，

∴S△MCB=S△ACB=2S1，

∴S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1=S1，

∵=，

∴=，

∴=，

設ME=5x，EB=2x，

∴MB=7x，

∴AB=2MB=14x，

∵==，

∴BC=，

∴cos∠ABC===

【點評】本題考查相似三角形的綜合問題，涉及直角三角形斜邊中線的*質，全等三角形的*質與判定，相似三角形的判定與*質，三角形面積的面積比，鋭角三角函數的定義等知識，綜合程度較高，需要學生靈活運用所學知識．

知識點：各地中考

題型：解答題