已知函數.(Ⅰ)當時,判斷函數的單調*;(Ⅱ)當時,*:.(為自然對數的底數)
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問題詳情:
已知函數.
(Ⅰ)當時,判斷函數的單調*;
(Ⅱ)當時,*:.(為自然對數的底數)
【回答】
【解析】
(1)函數的定義域為.
.
①當時,.
當時,,函數單調遞增;
當時,,函數單調遞減.
②當時,.
當時,,函數單調遞增;
當時,,函數單調遞減;
當時,,函數單調遞增.
③當時,.
易知恆成立,函數在上單調遞增;
④當時,.
當時,,函數單調遞增;
當時,,函數單調遞減;
當時,,函數單調遞增.
綜上,當時,函數在和上單調遞增,在上單調遞減;
當時,函數在上單調遞增;
當時,函數在和上單調遞增,在上單調遞減;
當時,函數在上單調遞增,在上單調遞減.
(2)當時,不等式化為.
記,則.
顯然在上單調遞增,
且,.
所以在上有唯一的零點,且.
所以當時,,函數單調遞減;當時,,函數單調遞增.
由,即,得,
所以,
而易知函數在上單調遞減,
所以,
所以.
所以,即.
知識點:基本初等函數I
題型:解答題