在極座標系中，曲線C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C與l有且僅有一個公共點．（Ⅰ）求a...

問題詳情：

在極座標系中，曲線C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C與l有且僅有一個公共點．

（Ⅰ）求a；

（Ⅱ）O為極點，A，B為C上的兩點，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．

【回答】

【考點】簡單曲線的極座標方程．

【分析】（I）把圓與直線的極座標方程分別化為直角座標方程，利用直線與圓相切的*質即可得出a；

（II）不妨設A的極角為θ，B的極角為θ+，則|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=2cos（θ+），利用三角函數的單調*即可得出．

【解答】解：（Ⅰ）曲線C：ρ=2acosθ（a＞0），變形ρ2=2ρacosθ，化為x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．

∴曲線C是以（a，0）為圓心，以a為半徑的圓；

由l：ρcos（θ﹣）=，展開為，

∴l的直角座標方程為x+y﹣3=0．

由直線l與圓C相切可得=a，解得a=1．

（Ⅱ）不妨設A的極角為θ，B的極角為θ+，

則|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）

=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），

當θ=﹣時，|OA|+|OB|取得最大值2．

知識點：座標系與參數方程

題型：解答題