若拋物線L:y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,abc≠0)與直線l都經過y軸上的一點P,且拋物線L的頂點...
問題詳情:
若拋物線L:y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,abc≠0)與直線l都經過y軸上的一點P,且拋物線L的頂點Q在直線l上,則稱此直線l與該拋物線L具有“一帶一路”關係.此時,直線l叫做拋物線L的 “帶線”,拋物線L叫做直線l的“路線”.
(1)若直線y=mx+1與拋物線y=x2﹣2x+n具有“一帶一路”關係,求m,n的值;
(2)若某“路線”L的頂點在反比例函數y=的圖象上,它的“帶線”l的解析式為y=2x﹣4,求此“路線”L的解析式;
(3)當常數k滿足≤k≤2時,求拋物線L:y=ax2+(3k2﹣2k+1)x+k的“帶線”l與x軸,y軸所圍成的三角形面積的取值範圍.
【回答】
解:(1)令直線y=mx+1中x=0,則y=1,
即直線與y軸的交點為(0,1);
將(0,1)代入拋物線y=x2﹣2x+n中,
得n=1.
∵拋物線的解析式為y=x2﹣2x+1=(x﹣1)2,
∴拋物線的頂點座標為(1,0).
將點(1,0)代入到直線y=mx+1中,
得:0=m+1,解得:m=﹣1.
答:m的值為﹣1,n的值為1.
(2)將y=2x﹣4代入到y=中有,
2x﹣4=,即2x2﹣4x﹣6=0,
解得:x1=﹣1,x2=3.
∴該“路線”L的頂點座標為(﹣1,﹣6)或(3,2).
令“帶線”l:y=2x﹣4中x=0,則y=﹣4,
∴“路線”L的圖象過點(0,﹣4).
設該“路線”L的解析式為y=m(x+1)2﹣6或y=n(x﹣3)2+2,
由題意得:﹣4=m(0+1)2﹣6或﹣4=n(0﹣3)2+2,
解得:m=2,n=﹣.
∴此“路線”L的解析式為y=2(x+1)2﹣6或y=﹣(x﹣3)2+2.
(3)令拋物線L:y=ax2+(3k2﹣2k+1)x+k中x=0,則y=k,
即該拋物線與y軸的交點為(0,k).
拋物線L:y=ax2+(3k2﹣2k+1)x+k的頂點座標為(﹣,),
設“帶線”l的解析式為y=px+k,
∵點(﹣,)在y=px+k上,
∴=﹣p+k,
解得:p=.
∴“帶線”l的解析式為y=x+k.
令“帶線”l:y=x+k中y=0,則0=x+k,
解得:x=﹣.
即“帶線”l與x軸的交點為(﹣,0),與y軸的交點為(0,k).
∴“帶線”l與x軸,y軸所圍成的三角形面積S=|﹣|×|k|,
∵≤k≤2,
∴≤≤2,
∴S===,
當=1時,S有最大值,最大值為;
當=2時,S有最小值,最小值為.
故拋物線L:y=ax2+(3k2﹣2k+1)x+k的“帶線”l與x軸,y軸所圍成的三角形面積的取值範圍為≤S≤.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題