l交於點E（5，5）．矩形ABCD的邊AB在x軸正半軸上，且AB=1，邊AD，BC與拋物線分別交於點M，N．當...

問題詳情：

l交於點E（5，5）．矩形ABCD的邊AB在x軸正半軸上，且AB=1，邊AD，BC與拋物線分別交於點M，N．當矩形ABCD沿x軸正方向平移，點M，N位於對稱軸l的同側時，連接MN，此時，四邊形ABNM的面積記為S；點M，N位於對稱軸l的兩側時，連接EM，EN，此時五邊形ABNEM的面積記為S．將點A與點O重合的位置作為矩形ABCD平移的起點，設矩形ABCD平移的長度為t（0≤t≤5）

（1）求出這條拋物線的表達式；

（2）當t=0時，求S△OBN的值；

（3）當矩形ABCD沿着x軸的正方向平移時，求S關於t（0＜t≤5）的函數表達式，並求出t為何值時S有最大值，最大值是多少？

【回答】

【分析】（1）根據點E、F的座標，利用待定係數法即可求出拋物線的表達式；

（2）找出當t=0時，點B、N的座標，進而可得出OB、BN的長度，再根據三角形的面積公式可求出S△OBN的值；

（3）分0＜t≤4和4＜t≤5兩種情況考慮：①當0＜t≤4時（圖1），找出點A、B、M、N的座標，進而可得出AM、BN的長度，利用梯形的面積公式即可找出S關於t的函數關係式，再利用二次函數的*質即可求出S的最大值；②當4＜t≤5時，找出點A、B、M、N的座標，進而可得出AM、BN的長度，將五邊形分成兩個梯形，利用梯形的面積公式即可找出S關於t的函數關係式，再利用二次函數的*質即可求出S的最大值．將①②中的S的最大值進行比較，即可得出結論．

【解答】解：（1）將E（5，5）、F（10，0）代入y=ax2+bx，

，解得：，

∴拋物線的表達式為y=﹣x2+2x．

（2）當t=0時，點B的座標為（1，0），點N的座標為（1，），

∴BN=，OB=1，

∴S△OBN=BN•OB=．

（3）①當0＜t≤4時（圖1），點A的座標為（t，0），點B的座標為（t+1，0），

∴點M的座標為（t，﹣t2+2t），點N的座標為（t+1，﹣（t+1）2+2（t+1）），

∴AM=﹣t2+2t，BN=﹣（t+1）2+2（t+1），

∴S=（AM+BN）•AB=×1×[﹣t2+2t﹣（t+1）2+2（t+1）]，

=﹣t2+t+，

=﹣（t﹣）2+，

∵﹣＜0，

∴當t=4時，S取最大值，最大值為；

②當4＜t≤5時（圖2），點A的座標為（t，0），點B的座標為（t+1，0），

∴點M的座標為（t，﹣t2+2t），點N的座標為（t+1，﹣（t+1）2+2（t+1）），

∴AM=﹣t2+2t，BN=﹣（t+1）2+2（t+1），

∴S=（5﹣t）（﹣t2+2t+5）+（t﹣4）[5﹣（t+1）2+2（t+1）]，

=（t3﹣3t2+5t+25）+（﹣t3+t2+t﹣），

=﹣t2+t﹣，

=﹣（t﹣）2+，

∵﹣＜0，

∴當t=時，S取最大值，最大值為．

∵=＜，

∴當t=時，S有最大值，最大值是．

【點評】本題考查了待定係數法求二次函數解析式、二次函數圖象上點的座標特徵、二次函數的*質、梯形的面積以及三角形的面積，解題的關鍵是：（1）根據點的座標，利用待定係數法求出二次函數關係式；（2）利用二次函數圖象上點的座標特徵求出當t=0時點N的座標；（3）分0＜t≤4和4＜t≤5兩種情況找出S關於t的函數關係式．

知識點：各地中考

題型：綜合題