如圖T8-6,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC於點D,O為AB上一點,經過點A,D的☉...
問題詳情:
如圖T8-6,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC於點D,O為AB上一點,經過點A,D的☉O分別交AB,AC於點E,F,連接OF交AD於點G.
圖T8-6
(1)求*:BC是☉O的切線;
(2)設AB=x,AF=y,試用含x,y的代數式表示線段AD的長;
(3)若BE=8,sinB=,求DG的長.
【回答】
[解析] (1)連接OD,根據同圓半徑相等及角平分線條件得到∠DAC=∠ODA,得OD∥AC,切線得*;(2)連接EF,DF,根據直徑所對圓周角為直角,*∠AFE=90°,可得EF∥BC,因此∠B=∠AEF,再利用同弧所對圓周角相等可得∠B=∠ADF,從而*△ABD∽△ADF,可得AD與AB,AF的關係;(3)根據∠AEF=∠B,利用三角函數,分別在Rt△DOB和Rt△AFE中求出半徑和AF,代入(2)的結論中,求出AD,再利用兩角對應相等,*△OGD∽△FGA,再利用對應邊成比例,求出DG∶AG的值,即可求得DG的長.
解:(1)*:連接OD,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∵AD平分∠BAC,
∴∠OAD=∠DAC,
∴∠DAC=∠ODA,
∴OD∥AC,
∴∠ODB=∠C=90°,∴OD⊥BC.
∵OD為☉O的半徑,∴BC是☉O的切線.
(2)連接EF,DF.∵AE為☉O直徑,
∴∠AFE=90°,∴∠AFE=∠C=90°,
∴EF∥BC,∴∠B=∠AEF.
∵∠ADF=∠AEF,∴∠B=∠ADF.
又∵∠OAD=∠DAC,∴△ABD∽△ADF,
∴=,∴AD2=AB·AF,
∴AD=.
(3)設☉O半徑為r,
在Rt△DOB中,sinB==,
∴=,解得r=5,∴AE=10.
在Rt△AFE中,sin∠AEF=sinB=,
∴AF=10×=,
∴AD==.
∵∠ODA=∠DAC,∠DGO=∠AGF,
∴△OGD∽△FGA,
∴==,
∴=,
∴DG=.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:解答題