如圖，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC於點D，DE⊥AD交AB於點E，M為AE的中點，BF⊥...
問題詳情：
如圖，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC於點D，DE⊥AD交AB於點E，M為AE的中點，BF⊥BC交CM的延長線於點F，BD=4，CD=3．下列結論：①∠AED=∠ADC；②BE=DE；③AC﹣BE=12；④3BF=4AC；⑤
=
．其中正確結論的個數有( )
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【回答】
D
【考點】相似三角形的判定與*質；全等三角形的判定與*質．
【分析】利用相似三角形的判定方法逐一分析：
由∠AED=90°﹣∠EAD，∠ADC=90°﹣∠DAC，∠EAD=∠DAC判定①；
②BE=DE成立．可知BM：MA=BF：AC=2：1，而BD：DC=2：1，可知DM∥AC，DM⊥BC，利用直角三角形斜邊上的中線的*質判斷．
易*△ADE∽△ACD，得DE：DA=DC：AC=1：AC，進而得出AC的長，即可得出④*；
連接DM，可*DM∥BF∥AC，得FM：MC=BD：DC=4：3；易*△FMB∽△CMA，得比例線段求解得出③；
BE=DE成立．由④可知BM：MA=BF：AC=2：1，而BD：DC=2：1，可知DM∥AC，DM⊥BC，利用直角三角形斜邊上的中線的*質判斷⑤．
【解答】解：∵∠AED=90°﹣∠EAD，∠ADC=90°﹣∠DAC，∠EAD=∠DAC，
∴∠AED=∠ADC．
故①正確；
∵AD平分∠BAC，
∴
=
=
，
∴設AB=4x，則AC=3x，
在直角△ABC中，AC2+BC2=AB2，則（3x）2+49=（4x）2，
解得：x=
，
∵∠EAD=∠DAC，∠ADE=∠ACD=90°，
∴△ADE∽△ACD，得DE：DA=DC：AC=3：
，故⑤不正確；
∵∠AED=∠ADC，
∴∠BED=∠BDA，
又∵∠DBE=∠ABD，
∴△BED∽△BDA，
∴DE：DA=BE：BD，
∵DE：DA=DC：AC，
∴BE：BD=DC：AC，
∴AC•BE=BD•DC=12．
故③正確；
連接DM，
在Rt△ADE中，MD為斜邊AE的中線，
則DM=MA．
∴∠MDA=∠MAD=∠DAC，
∴DM∥BF∥AC，
由DM∥BF得FM：MC=BD：DC=4：3；
由BF∥AC得△FMB∽△CMA，有BF：AC=FM：MC=4：3，
∴3BF=4AC．
故④正確．
∵BM：MA=BF：AC=2：1，
∵BD：DC=2：1，
∴DM∥AC，DM⊥BC，
∴∠MDA=∠DAC=∠DAM，而∠ADE=90°，
∴DM=MA=ME，在Rt△BDM中，由BM=2AM可知BE=EM，
∴ED=BE．故②正確．
綜上所述，①③④⑤正確，共有4個．
故選：D．
【點評】此題考查三角形相似的判定與*質，掌握相似三角形的判斷方法與*質運用是解決問題的關鍵．
知識點：相似三角形
題型：選擇題
