如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC於E，BD⊥AE於D，DF⊥AC交AC...

問題詳情：

如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC於E，BD⊥AE於D，DF⊥AC交AC的延長線於F，連接CD，給出四個結論：①∠ADC=45°；②BD=AE；③AC+CE=AB；④AB﹣BC=2FC；其中正確的結論有(     )

A．1個  B．2個   C．3個  D．4個

【回答】

D【考點】全等三角形的判定與*質；角平分線的*質；等腰直角三角形．

【分析】過E作EQ⊥AB於Q，作∠ACN=∠BCD，交AD於N，過D作DH⊥AB於H，根據角平分線*質求出CE=EQ，DF=DH，根據勾股定理求出AC=AQ，AF=AH，根據等腰三角形的*質和判定求出BQ=QE，即可求出③；根據三角形外角*質求出∠CND=45°，*△ACN≌△BCD，推出CD=CN，即可求出②①；*△DCF≌△DBH，得到CF=BH，AF=AH，即可求出④．

【解答】解：如圖，

過E作EQ⊥AB於Q，

∵∠ACB=90°，AE平分∠CAB，

∴CE=EQ，

∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠CBA=∠CAB=45°，

∵EQ⊥AB，

∴∠EQA=∠EQB=90°，

由勾股定理得：AC=AQ，

∴∠QEB=45°=∠CBA，

∴EQ=BQ，

∴AB=AQ+BQ=AC+CE，

∴③正確；

作∠ACN=∠BCD，交AD於N，

∵∠CAD=∠CAB=22.5°=∠BAD，

∴∠ABD=90°﹣22.5°=67.5°，

∴∠DBC=67.5°﹣45°=22.5°=∠CAD，

∴∠DBC=∠CAD，

在△ACN和△BCD中，

，

∴△ACN≌△BCD，

∴CN=CD，AN=BD，

∵∠ACN+∠NCE=90°，

∴∠NCB+∠BCD=90°，

∴∠CND=∠CDA=45°，

∴∠ACN=45°﹣22.5°=22.5°=∠CAN，

∴AN=CN，

∴∠NCE=∠AEC=67.5°，

∴CN=NE，

∴CD=AN=EN=AE，

∵AN=BD，

∴BD=AE，

∴①正確，②正確；

過D作DH⊥AB於H，

∵∠FCD=∠CAD+∠CDA=67.5°，

∠DBA=90°﹣∠DAB=67.5°，

∴∠FCD=∠DBA，

∵AE平分∠CAB，DF⊥AC，DH⊥AB，

∴DF=DH，

在△DCF和△DBH中

，

∴△DCF≌△DBH，

∴BH=CF，

由勾股定理得：AF=AH，

∴====2，

∴AC+AB=2AF，

AC+AB=2AC+2CF，

AB﹣AC=2CF，

∵AC=CB，

∴AB﹣CB=2CF，

∴④正確．

故選D

【點評】本題主要考查了三角形的外角*質，三角形的內角和定理，等腰三角形的*質和判定，直角三角形斜邊上中線*質，全等三角形的*質和判定，等腰直角三角形*質等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些*質進行推理是解此題的關鍵．

知識點：等腰三角形

題型：選擇題