如圖,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AE平分∠BAC交BC於E,BD⊥AE交AE延長線於D,DM...
問題詳情:
如圖,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AE平分∠BAC交BC於E,BD⊥AE交AE延長線於D,DM⊥AC交AC的延長線於M,連接CD,以下四個結論:①∠ADC=45°;②BD=AE;③AC+CE=AB;④AC+AB=2AM.其中正確的結論有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
【回答】
D 解析:過E作EQ⊥AB於Q.∵∠ACB=90°,AE平分∠CAB,∴CE=EQ.∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠CBA=∠CAB=45°.∵EQ⊥AB,∴∠EQA=∠EQB=90°.由勾股定理得AC=AQ,∴∠QEB=45°=∠CBA,∴EQ=BQ,∴AB=AQ+BQ=AC+CE,∴①正確;作∠ACN=∠BCD,交AD於N.∵∠CAD=∠CAB=22.5°=∠BAD,∴∠DBA=90°-22.5°=67.5°,∴∠DBC=67.5°-45°=22.5°,∴∠DBC=∠CAD.在△ACN和△BCD中,∴△ACN≌△BCD(ASA),CN=CD.∵∠ACN+∠NCE=90°,∴∠NCB+∠BCD=90°,∴∠CND=∠CDN=45°,∴∠ACN=45°-22.5°=22.5°=∠CAN,∴AN=CN,∴∠NCE=∠AEC=67.5°,∴CN=NE,∴CD=AN=EN=AE,∴②正確,③正確;過D作DH⊥AB於H,∵∠MCD=∠CAD+∠CDA=67.5°,∠DBA=90°-∠DAB=67.5°,∴∠MCD=∠DBA.∵AE平分∠CAB,DM⊥AC,DH⊥AB,∴DM=DH.在△DCM和△DBH中,
∴△DCM≌△DBH(AAS),∴BH=CM.由勾股定理得AM=AH,∴AC+AB=AC+AH+BH=AC+AM+CM=2AM,∴④正確.故選D.
知識點:三角形全等的判定
題型:選擇題