和正三角形CDE，AD與BE交與點O，AD與BC交與點P，BE與CD交與點Q，連接PQ．有下列結論：①AD=B...

問題詳情：

和正三角形CDE，AD與BE交與點O，AD與BC交與點P，BE與CD交與點Q，連接PQ．有下列結論：

①AD=BE；②AP=BQ；③∠AOB=60°；④DE=DP；⑤△CPQ為正三角形．

其中正確的結論有（　　）

A．①②③⑤ B．①③④⑤  C．①②⑤     D．②③④

【回答】

A【考點】全等三角形的判定與*質；等邊三角形的判定與*質．

【分析】根據等邊三角形*質得出AC=BC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°，求出∠ACD=∠BCE，*△ACD≌△BCE，推出AD=BE，即可判斷①；根據全等三角形*質得出∠CBE=∠CAD，根據ASA*△ACP≌△BCQ，推出AP=BQ，即可判斷②；對應角相等可得∠CAD=∠CBE，然後*△ACP與△BCQ全等，根據全等三角形對應角相等可得PC=PQ，從而得到△CPQ是等邊三角形，所以⑤正確求出∠DCE=60°=∠CAD+∠ADC，求出∠CAD+∠BEC=60°，即可求出∠AOB=60°，即可判斷③；根據三角形外角*質推出∠DPC＞∠DCP，推出DP＜DC，即可判斷④．

【解答】解：∵△ABC和△DCE是正三角形，

∴AC=BC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°，

∴∠BCA+∠BCD=∠DCE+∠BCD，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∴①正確；

∵△ACD≌△BCE，

∴∠CBE=∠CAD，

∵∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠BCD=60°=∠ACB，

在△ACP和△BCQ中

∴△ACP≌△BCQ（ASA），

∴AP=BQ，∴②正確；

PC=QC，

∴△CPQ為正三角形∴⑤正確

∵△ACD≌△BCE，

∴∠ADC=∠BEC，

∠DCE=60°=∠CAD+∠ADC，

∴∠CAD+∠BEC=60°，

∴∠AOB=∠CAD+∠BEC=60°，∴③正確；

∵△DCE是正三角形，

∴DE=DC，

∵∠AOB=60°，∠DCP=60°，∠DPC＞∠AOB，

∴∠DPC＞∠DCP，

∴DP＜DC，即DP＜DE，∴④錯誤；

所以正確的有①②③⑤，

故選A．

知識點：三角形全等的判定

題型：選擇題