如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,扇形紙片DOE的頂點O與邊AB的中點重合,O...
問題詳情:
如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,扇形紙片DOE的頂點O與邊AB的中點重合,OD交BC於點F,OE經過點C,且∠DOE=∠B.
(1)*△COF是等腰三角形,並求出CF的長;
(2)將扇形紙片DOE繞點O逆時針旋轉,OD,OE與邊AC分別交於點M,N(如圖2),當CM的長是多少時,△OMN與△BCO相似?
【回答】
1)*見解析. .(2)當CM的長是或時,△OMN與△BCO相似.
【解析】
試題分析:(1)易*∠OCB=∠B,由條件∠DOE=∠B可得∠OCB=∠DOE,從而得到△COF是等腰三角形,過點F作FH⊥OC,垂足為H,如圖1,由等腰三角形的三線合一可求出CH,易*△CHF∽△BCA,從而可求出CF長.
試題解析:(1)∵∠ACB=90°,點O是AB的中點,
∴OC=0B=OA=5.
∴∠OCB=∠B,∠ACO=∠A.
∵∠DOE=∠B,
∴∠FOC=∠OCF.
∴FC=FO.
∴△COF是等腰三角形.
過點F作FH⊥OC,垂足為H,如圖1,
(2)①若△OMN∽△BCO,如圖2,
則有∠NMO=∠OCB.
∵∠OCB=∠B,
∴∠NMO=∠B.
∵∠A=∠A,
∴△AOM∽△ACB.
∴.
∵∠ACB=90°,AB=10,BC=6,
∴AC=8.
∵AO=5,AC=8,AB=10,
∴AM=.
∴CM=AC-AM=.
②若△OMN∽△BOC,如圖3,
則有∠MNO=∠OCB.
∵∠OCB=∠B,
∴∠MNO=∠B.
∵∠ACO=∠A,
∴△CON∽△ACB.
∴.
∵BC=6,AB=10,AC=8,CO=5,
∴ON=,CN=.
∵GN=,BC=6,AB=10,
∴MN=.
∴CM=CN-MN=-=.
∴當CM的長是或時,△OMN與△BCO相似.
【考點】1.圓的綜合題;2.全等三角形的判定與*質;3.直角三角形斜邊上的中線;4.勾股定理;5.相似三角形的判定與*質.
知識點:相似三角形
題型:解答題