如圖,已知P為鋭角∠MAN內部一點,過點P作PB⊥AM於點B,PC⊥AN於點C,以PB為直徑作⊙O,交直線CP...
問題詳情:
如圖,已知P為鋭角∠MAN內部一點,過點P作PB⊥AM於點B,PC⊥AN於點C,以PB為直徑作⊙O,交直線CP於點D,連接AP,BD,AP交⊙O於點E.
(1)求*:∠BPD=∠BAC.
(2)連接EB,ED,當tan∠MAN=2,AB=2時,在點P的整個運動過程中.①若∠BDE=45°,求PD的長. ②若△BED為等腰三角形,求所有滿足條件的BD的長.
(3)連接OC,EC,OC交AP於點F,當tan∠MAN=1,OC//BE時,記△OFP的面積為S1 , △CFE的面積為S2 , 請寫出 的值.
【回答】
(1)解 :∵PB⊥AM,PC⊥AN ∴∠ABP=∠ACP=90°, ∴∠BAC+∠BPC=180° ∵∠BPD+∠BPC=180° ∴∠BPD=∠BAC (2)解 ;①如圖1, ∵∠APB=∠BDE=45°,∠ABP=90°, ∴BP=AB= ∵∠BPD=∠BAC ∴tan∠BPD=tan∠BAC ∴ =2 ∴BP= PD ∴PD=2 ∴∠BPD=∠BPE=∠BAC ∴tan∠BPE=2 ∵AB= ∴BP= ∴BD=2 Ⅱ如圖2,當BE=DE時,∠EBD=∠EDB ∵∠APB=∠BDE,∠DBE=∠APC ∴∠APB=∠APC ∴AC=AB= 過點B作BG⊥AC於點G,得四邊形BGCD是矩形 ∵AB= ,tan∠BAC=2 ∴AG=2 ∴BD=CG= Ⅲ如圖4,當BD=DE時,∠DEB=∠DBE=∠APC ∵∠DEB=∠DPB=∠BAC ∴∠APC=∠BAC 設PD=x,則BD=2x ∴ =2 ∴ =2 ∴x= ∴BD=2x=3 綜上所述,當BD為2,3或 時,△BDE為等腰三角形 (3)= 如圖5,過點O作OH⊥DC於點H ∵tan∠BPD=tan∠MAN=1 ∴BD=DP 令BD=DP=2a,PC=2b得 OH=a,CH=a+2b,AC=4a+2b 由OC∥BE得∠OCH=∠PAC ∴ = ∴OH·AC=CH·PC ∴a(4a+2b)=2b(a+2b) ∴a=b ∴CF= ,OF= ∴ =
【考點】圓的綜合題
【解析】【分析】(1)根據垂直的定義得出∠ABP=∠ACP=90°,根據四邊形的內角和得出∠BAC+∠BPC=180°,根據平角的定義得出∠BPD+∠BPC=180°,根據同角的餘角相等得出∠BPD=∠BAC ; (2)①如圖1,根據等腰直角三角形的*質得出BP=AB=2, 根據等角的同名三角函數值相等及正切函數的定義得出BP= PD,從而得出PD的長;②Ⅰ如圖2,當BD=BE時,∠BED=∠BDE,故∠BPD=∠BPE=∠BAC根據等角的同名三角函數值相等得出tan∠BPE=2,根據正切函數的定義由AB=2,得出BP=, 根據勾股定理即可得出BD=2;Ⅱ如圖3,當BE=DE時,∠EBD=∠EDB;由∠APB=∠BDE,∠DBE=∠APC,得出∠APB=∠APC ②Ⅰ如圖2,當BD=BE時,∠BED=∠BDE, 由等角對等邊得出AC=AB= 2 , 過點B作BG⊥AC於點G,得四邊形BGCD是矩形,根據正切函數的定義得出AG=2,進而得出BD=CG=2-2,;Ⅲ如圖4,當BD=DE時,∠DEB=∠DBE=∠APC ,由∠DEB=∠DPB=∠BAC得出∠APC=∠BAC,設PD=x,則BD=2x,根據正切函數的定義列出關於x的方程,求解得出x的值,進而由BD=2x得出*; (3)如圖5,過點O作OH⊥DC於點H,根據tan∠BPD=tan∠MAN=1得出BD=DP,令BD=DP=2a,PC=2b得OH=a,CH=a+2b,AC=4a+2b,由OC∥BE得∠OCH=∠PAC,根據平行線分線段成比例定理得出OH·AC=CH·PC,從而列出方程,求解得出a=b,進而表示出CF,OF,故可得出*。
知識點:各地中考
題型:綜合題