如圖，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC於點M，CN⊥AB於點N，P為BC邊的中點，連接PM，PN，則下列結...

問題詳情：

如圖，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC於點M，CN⊥AB於點N，P為BC邊的中點，連接PM，PN，則下列結論：①PM=PN；②；③△PMN為等邊三角形；④當∠ABC=45°時，BN=PC．其中正確的個數是（　　）

A．1個  B．2個  C．3個  D．4個

【回答】

D【考點】S9：相似三角形的判定與*質；KL：等邊三角形的判定；KP：直角三角形斜邊上的中線．

【分析】根據直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半可判斷①正確；

先*△ABM∽△ACN，再根據相似三角形的對應邊成比例可判斷②正確；

先根據直角三角形兩鋭角互餘的*質求出∠ABM=∠ACN=30°，再根據三角形的內角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然後根據三角形的一個外角等於與它不相鄰的兩個內角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，從而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形可判斷③正確；

當∠ABC=45°時，∠BCN=45°，由P為BC邊的中點，得出BN=PB=PC，判斷④正確．

【解答】解：①∵BM⊥AC於點M，CN⊥AB於點N，P為BC邊的中點，

∴PM=BC，PN=BC，

∴PM=PN，正確；

②在△ABM與△ACN中，

∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，

∴△ABM∽△ACN，

∴，正確；

③∵∠A=60°，BM⊥AC於點M，CN⊥AB於點N，

∴∠ABM=∠ACN=30°，

在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°，

∵點P是BC的中點，BM⊥AC，CN⊥AB，

∴PM=PN=PB=PC，

∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，

∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，

∴∠MPN=60°，

∴△PMN是等邊三角形，正確；

④當∠ABC=45°時，∵CN⊥AB於點N，

∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，

∴BN=CN，

∵P為BC邊的中點，

∴PN⊥BC，△BPN為等腰直角三角形

∴BN=PB=PC，正確．

故選D．

【點評】本題主要考查了直角三角形30°角所對的直角邊等於斜邊的一半的*質，相似三角形、等邊三角形、等腰直角三角形的判定與*質，等腰三角形三線合一的*質，仔細分析圖形並熟練掌握*質是解題的關鍵．

知識點：相似三角形

題型：選擇題