如圖①，已知△ABC的三個頂點座標分別為A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），直線BE交y軸正半軸於點E...

問題詳情：

如圖①，已知△ABC的三個頂點座標分別為A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），直線BE交y軸正半軸於點E．

（1）求經過A、B、C三點的拋物線解析式及頂點D的座標；

（2）連接BD、CD，設∠DBO=α，∠EBO=β，若tan （α﹣β）=1，求點E的座標；

（3）如圖②，在（2）的條件下，動點M從點C出發以每秒個單位的速度在直線BC上移動（不考慮點M與點C、B重合的情況），點N為拋物線上一點，設點M移動的時間為t秒，在點M移動的過程中，以E、C、M、N四個點為頂點的四邊形能否成為平行四邊形？若能，直接寫出所有滿足條件的t值及點M的個數；若不能，請説明理由．

【回答】

【考點】HF：二次函數綜合題．

【分析】（1）用待定係數法求出求出拋物線解析式，再配成頂點式，求出頂點座標；

（2）方法一：先求出∠DBE=45°，再構造出等腰直角三角形，由兩腰相等建立方程求出點E的座標；

方法二：先判斷出∠BCD=90°，進而得出△OBE∽△CBD，即可求出OE即可得出結論；

（3）分兩種情況討論計算①CE為平行四邊形的邊，用MN=CE建立方程求出點M座標，從而求出時間t，

②利用平行四邊形的對角線互相平分，藉助中點座標建立方程組求出點M座標即可．

【解答】解：（1）經過A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點的拋物線，

∴設拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3），

∵點C（0，3）在拋物線上，

∴3=﹣3a，

∴a=﹣1

∴拋物線解析式為y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣（x﹣1）2+4，

∴拋物線的頂點座標為D（1，4），

（2）方法一：∵tan （α﹣β）=1，

∴α﹣β=45°，

∵∠DBO=α，∠EBO=β，

∴∠DBE=45°，

如圖1，

過點E作EF⊥BD於F，

∴EF=BF，

∵B（3，0），D（1，4），

∴直線BD解析式為y=﹣2x+6①，

設點E（0，b），

∵EF⊥BD，

∴直線EF解析式為y=x+b②，

聯立①②解方程組得，x=，y=（2b+3），

∴F（，（2b+3）），

∴EF2=[（6﹣B）]2+[（2b+3）﹣b]2=（6﹣b）2，FB2=[﹣3]2+[（2b+3）]2=[（2b+3）]2，

∵EF=FB，

∴EF2=FB2，

∴（6﹣b）2=[（2b+3）]2，

∴b=﹣9（舍）或b=1，

∴E（0，1），

方法二、∵tan （α﹣β）=1，

∴α﹣β=45°，

∵∠DBO=α，∠EBO=β，

∴∠DBE=45°，

∵C（0，3），B（3，0），

∴OB=OC，

∴∠OBC=45°，

∴∠CBD=∠OBE，

∵B（3，0），C（0，3），D（1，4），

∴OB=3，BC2=18，CD2=2，BD2=20，

∴BC2+CD2=BD2，

∴△BCD是直角三角形，

∴∠BCD=90°=∠BOE，

∵∠CBD=∠OBE，

∴△OBE∽△CBD，

∴，

∴，

∴OE=1，

∴E（0，1），

（3）能，

理由：∵B（3，0），C（0，3），

∴直線BC解析式為y=﹣x+3，

設點M（m，﹣m+3），

∵E、C、M、N四個點為頂點的四邊形為平行四邊形，

∴分CE為邊和CE為對角線進行計算，

①如圖2，

當CE是平行四邊形的邊時，MN∥CE，MN=CE，

過M作MN∥CE交拋物線於N，

∵點N在拋物線上，

∴N（m，﹣m2+2m+3），

∴MN=|﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）|=|m2﹣3m|，

∵C（0，3），E（0，1），

∴CE=2，

∵MN=CE，

∴|m2﹣3m|=2，

∴m=或m=1或m=2，

∴M（，）或（，）或（1，2）或（2，1）；

∵C（0，3）

當M（，）時，CM=，

∴t==，

當M（，）時，

同理：t=，

當M（1，2）時，CM=，

∴t=，

當M（2，1）時，CM=2，

∴t=2=2，

②當CE是平行四邊形的對角線時，MN與CE互相平分，

∵C（0，3），E（0，1），

∴線段CE的中點座標為（0，2），

∵M（m，﹣m+3），

∴CM==|m|，

∴t=|m|=|m|

∵點N在拋物線y=﹣x2+2x+3上，

設點N（n，﹣n2+2n+3），

利用中點座標得，， =2，

∴或，

∴M（﹣，）或（﹣，），

當M（﹣，）時，

∴t=

當M（﹣，）時，

∴t=；

即：滿足條件的t的值為或或1或2．點M共有6個．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題