已知函數,.(Ⅰ)若在上存在極大值點,求實數的取值範圍;(Ⅱ)求*:,其中.
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問題詳情:
已知函數,.
(Ⅰ)若在上存在極大值點,求實數的取值範圍;
(Ⅱ)求*:,其中.
【回答】
(Ⅰ) (Ⅱ)見*
【分析】
(Ⅰ)先對函數求導,再由分類討論的思想,分別討論,和三種情況,即可得出結果;
(Ⅱ)令可得,由(Ⅰ)可知的極大值,再由時,,即可*結論成立;也可用數學歸納法*.
【詳解】
解:(Ⅰ)由於,
則①當時,,
即當時,,單調遞增;
當時,,單調遞減;
故在處取得極大值,
則,解得:;
②當時,恆成立,無極值,不合題意捨去;
③當時,,
即當時,,單調遞減;
當時, ,單調遞增;
故在處取得極小值,不合題意捨去;
因此當時,在上存在極大值點;
(Ⅱ)法一:令,,
由(Ⅰ)得:在處取得極大值1,且該極值是唯一的,
則,即,若且唯若時取“=”,
故當時,,
因此.
法二:下面用數學歸納法*:,對恆成立.
(1)當時,左邊,右邊,
左邊右邊,結論成立;
(2)假設當時,結論成立,即,
當時,左邊
,
而,
令,,
由(Ⅰ)得:在處取得極大值1,且該極值是唯一的,
則,即,若且唯若時取“=”,
則對恆成立,即
成立
故當時,結論成立,
因此,綜合(1)(2)得,對恆成立
【點睛】
本題主要考查導數在函數中的應用,通常需要對函數求導,由導數的方法研究函數的單調*和極值等,屬於常考題型.
知識點:導數及其應用
題型:解答題