如圖,AB是圓O的直徑,O為圓心,AD、BD是半圓的弦,且∠PDA=∠PBD.延長PD交圓的切線BE於點E(1...
問題詳情:
如圖,AB是圓O的直徑,O為圓心,AD、BD是半圓的弦,且∠PDA=∠PBD.延長PD交圓的切線BE於點E
(1)判斷直線PD是否為⊙O的切線,並説明理由;
(2)如果∠BED=60°,PD=,求PA的長;
(3)將線段PD以直線AD為對稱軸作對稱線段DF,點F正好在圓O上,如圖2,求*:四邊形DFBE為菱形.
【回答】
(1)*見解析;(2)1;(3)*見解析.
【分析】
(1)連接OD,由AB是圓O的直徑可得∠ADB=90°,進而求得∠ADO+∠PDA=90°,即可得出直線PD為⊙O的切線;
(2)根據BE是⊙O的切線,則∠EBA=90°,即可求得∠P=30°,再由PD為⊙O的切線,得∠PDO=90°,根據三角函數的定義求得OD,由勾股定理得OP,即可得出PA;
(3)根據題意可*得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF,由AB是圓O的直徑,得∠ADB=90°,設∠PBD=x°,則可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°,∠DBF=2x°,由圓內接四邊形的*質得出x的值,可得出△BDE是等邊三角形.進而*出四邊形DFBE為菱形.
【詳解】
解:(1)直線PD為⊙O的切線,
理由如下:
如圖1,連接OD,
∵AB是圓O的直徑,
∴∠ADB=90°,
∴∠ADO+∠BDO=90°,
又∵DO=BO,
∴∠BDO=∠PBD,
∵∠PDA=∠PBD,
∴∠BDO=∠PDA,
∴∠ADO+∠PDA=90°,即PD⊥OD,
∵點D在⊙O上,
∴直線PD為⊙O的切線;
(2)∵BE是⊙O的切線,
∴∠EBA=90°,
∵∠BED=60°,
∴∠P=30°,
∵PD為⊙O的切線,
∴∠PDO=90°,
在Rt△PDO中,∠P=30°,PD=,
∴,解得OD=1,
∴=2,
∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1;
(3)如圖2,
依題意得:∠ADF=∠PDA,∠PAD=∠DAF,
∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF,
∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF,
∵AB是圓O的直徑,
∴∠ADB=90°,
設∠PBD=x°,則∠DAF=∠PAD=90°+x°,∠DBF=2x°,
∵四邊形AFBD內接於⊙O,
∴∠DAF+∠DBF=180°,
即90°+x+2x=180°,解得x=30°,
∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°,
∵BE、ED是⊙O的切線,
∴DE=BE,∠EBA=90°,
∴∠DBE=60°,∴△BDE是等邊三角形,
∴BD=DE=BE,
又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°,
∴△BDF是等邊三角形,
∴BD=DF=BF,
∴DE=BE=DF=BF,
∴四邊形DFBE為菱形.
【點睛】
本題是一道綜合*的題目,考查了切線的判定和*質,圓周角定理和菱形的*質,是中檔題,難度較大.
知識點:圓的有關*質
題型:解答題