已知拋物線經過點A(－1,0)、B(3,0)、C(0,－3).(Ⅰ)求拋物線的解析式及其頂點D的座標;(Ⅱ)直...

問題詳情：

已知拋物線經過點A(－1,0)、B(3,0)、C(0,－3).

(Ⅰ)求拋物線的解析式及其頂點D的座標;

(Ⅱ)直線CD交x軸於點E,過拋物線上在對稱軸右邊的點P,作y軸的平行線交x軸於點F,交直線CD於點M,使PM=EF,請求出點P的座標;

(Ⅲ)將拋物線沿對稱軸平移,要使拋物線與(Ⅱ)中的線段EM總有交點,那麼拋物線向上最多平移多少個單位長度?向下最多平移多少個單位長度?

【回答】

解:(Ⅰ)設拋物線解析式為y=a(x＋1)(x－3),

把點C(0,－3)代入得:a×1×(－3)=－3,

解得a=1,

∴拋物線解析式為y=(x＋1)(x－3),

即y=x2－2x－3,

∵y=x2－2x－3=(x－1)2－4,

∴頂點D的座標為(1,－4);

(Ⅱ)如解圖,設直線CD的解析式為y=kx＋b,

把點C(0,－3),D(1,－4)代入得

,解得,

∴直線CD的解析式為y=－x－3,

當y=0時,－x－3=0,

解得x=－3,

則E(－3,0),

設P(t,t2－2t－3)(t＞1),

則M(t,－t－3),F(t,0),

∴EF=t＋3,PM=t2－2t－3－(－t－3)=t2－t,

而PM=EF,

∴t2－t=(t＋3),

整理得5t2－7t－6=0,

解得t1=－(捨去),t2=2,

當t=2時,t2－2t－3=22－2×2－3=－3,

∴點P座標為(2,－3);

第1題解圖

(Ⅲ)當t=2時,點M的座標為(2,－5),

設平移後的拋物線解析式為y=x2－2x－3＋m,

當拋物線y=x2－2x－3＋m與直線y=－x－3有唯一公共點時,

令方程x2－2x－3＋m=－x－3,即x2－x＋m=0有兩個相等的實數解,

則b2－4ac=1－4m=0,

解得m=;

若拋物線y=x2－2x－3＋m經過點M(2,－5),

則4－4－3＋m=－5,解得m=－2;

若拋物線y=x2－2x－3＋m經過點E(－3,0),

則9－2×(－3)－3＋m=0,

解得m=－12,

∴拋物線向上最多平移個單位長度,向下最多平移12個單位長度.

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：綜合題