*作與*:如圖1,把一個含45°角的直角三角板ECF和一個正方形ABCD擺放在一起,使三角板的直角頂點和正方...
問題詳情:
*作與*:如圖1,把一個含45°角的直角三角板ECF和一個正方形ABCD擺放在一起,使三角板的直角頂點和正方形的頂點C重合,點E、F分別在正方形的邊CB、CD上,連接AF.取AF中點M,EF的中點N,連接MD、MN.
(1)連接AE,求*:△AEF是等腰三角形;
猜想與發現:
(2)在(1)的條件下,請判斷MD、MN的數量關係和位置關係,得出結論.
結論1:DM、MN的數量關係是 ;
結論2:DM、MN的位置關係是 ;
拓展與探究:
(3)如圖2,將圖1中的直角三角板ECF繞點C順時針旋轉180°,其他條件不變,則(2)中的兩個結論還成立嗎?若成立,請加以*;若不成立,請説明理由.
【回答】
【解答】(1)*:∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=AD=BC=CD,∠B=∠ADF=90°,
∵△CEF是等腰直角三角形,∠C=90°,
∴CE=CF,
∴BC﹣CE=CD﹣CF,
即BE=DF,
∴△ABE≌△ADF,
∴AE=AF,
∴△AEF是等腰三角形;
(2)解:相等,垂直;
*:∵在Rt△ADF中DM是斜邊AF的中線,
∴AF=2DM,
∵MN是△AEF的中位線,
∴AE=2MN,
∵AE=AF,
∴DM=MN;
∵∠DMF=∠DAF+∠ADM,AM=MD,
∵∠FMN=∠FAE,∠DAF=∠BAE,
∴∠ADM=∠DAF=∠BAE,
∴∠DMN=∠BAD=90°,
∴DM⊥MN;
(3)(2)中的兩個結論還成立,
*:連接AE,交MD於點G,
∵點M為AF的中點,點N為EF的中點,
∴MN∥AE,MN=AE,
由(1)同理可*,
AB=AD=BC=CD,∠B=∠ADF,CE=CF,
又∵BC+CE=CD+CF,即BE=DF,
∴△ABE≌△ADF,
∴AE=AF,
在Rt△ADF中,
∵點M為AF的中點,
∴DM=AF,
∴DM=MN,
∵△ABE≌△ADF,
∴∠1=∠2,
∵AB∥DF,
∴∠1=∠3,
同理可*:∠2=∠4,
∴∠3=∠4,
∵DM=AM,
∴∠MAD=∠5,
∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°,
∵MN∥AE,
∴∠DMN=∠DGE=90°,
∴DM⊥MN.
【分析】(1)根據正方形的*質以及等腰直角三角形的知識*出CE=CF,繼而*出△ABE≌△ADF,得到AE=AF,*出△AEF是等腰三角形;
(2)DM、MN的數量關係是相等,位置關係式垂直;
(3)連接AE,交MD於點G,標記出各個角,首先*出MN∥AE,MN=AE,再有(1)的結論以及角角之間的數量關係得到∠DMN=∠DGE=90°.
知識點:特殊的平行四邊形
題型:解答題