如圖,△ABC是⊙O的內接三角形,點D在上,點E在弦AB上(E不與A重合),且四邊形BDCE為菱形.(1)求*...
問題詳情:
如圖,△ABC是⊙O的內接三角形,點D在上,點E在弦AB上(E不與A重合),且四邊形BDCE為菱形.
(1)求*:AC=CE;
(2)求*:BC2﹣AC2=AB•AC;
(3)已知⊙O的半徑為3.
①若=,求BC的長;
②當為何值時,AB•AC的值最大?
【回答】
【解答】解:(1)∵四邊形EBDC為菱形,
∴∠D=∠BEC,
∵四邊形ABDC是圓的內接四邊形,
∴∠A+∠D=180°,
又∠BEC+∠AEC=180°,
∴∠A=∠AEC,
∴AC=AE;
(2)以點C為圓心,CE長為半徑作⊙C,與BC交於點F,於BC延長線交於點G,則CF=CG,
由(1)知AC=CE=CD,
∴CF=CG=AC,
∵四邊形AEFG是⊙C的內接四邊形,
∴∠G+∠AEF=180°,
又∵∠AEF+∠BEF=180°,
∴∠G=∠BEF,
∵∠EBF=∠GBA,
∴△BEF∽△BGA,
∴=,即BF•BG=BE•AB,
∵BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC,BE=CE=AC,
∴(BC﹣AC)(BC+AC)=AB•AC,即BC2﹣AC2=AB•AC;
(3)設AB=5k、AC=3k,
∵BC2﹣AC2=AB•AC,
∴BC=2k,
連接ED交BC於點M,
∵四邊形BDCE是菱形,
∴DE垂直平分BC,
則點E、O、M、D共線,
在Rt△DMC中,DC=AC=3k,MC=BC=k,
∴DM==k,
∴OM=OD﹣DM=3﹣k,
在Rt△COM中,由OM2+MC2=OC2得(3﹣k)2+(k)2=32,
解得:k=或k=0(舍),
∴BC=2k=4;
②設OM=d,則MD=3﹣d,MC2=OC2﹣OM2=9﹣d2,
∴BC2=(2MC)2=36﹣4d2,
AC2=DC2=DM2+CM2=(3﹣d)2+9﹣d2,
由(2)得AB•AC=BC2﹣AC2
=﹣4d2+6d+18
=﹣4(d﹣)2+,
∴當x=,即OM=時,AB•AC最大,最大值為,
∴DC2=,
∴AC=DC=,
∴AB=,此時=.
【點評】本題主要考查圓的綜合問題,解題的關鍵是掌握圓的有關*質、圓內接四邊形的*質及菱形的*質、相似三角形的判定與*質、二次函數的*質等知識點.
知識點:各地中考
題型:解答題