如圖，AB是以O為圓心的半圓的直徑，半徑CO⊥AO，點M是上的動點，且不與點A、C、B重合，直線AM交直線OC...
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問題詳情：
如圖，AB是以O為圓心的半圓的直徑，半徑CO⊥AO，點M是
上的動點，且不與點A、C、B重合，直線AM交直線OC於點D，連結OM與CM．
（1）若半圓的半徑為10．
①當∠AOM=60°時，求DM的長；
②當AM=12時，求DM的長．
（2）探究：在點M運動的過程中，∠DMC的大小是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請説明理由．
【回答】
【分析】（1）①當∠AOM=60°時，所以△AMO是等邊三角形，從而可知∠MOD=30°，∠D=30°，所以DM=OM=10；
②過點M作MF⊥OA於點F，設AF=x，OF=10﹣x，利用勾股定理即可求出x的值．易*△AMF∽△ADO，從而可知AD的長度，進而可求出MD的長度．
（2）根據點M的位置分類討論，然後利用圓周角定理以及圓內接四邊形的*質即可求出*．
【解答】解：（1）①當∠AOM=60°時，
∵OM=OA，
∴△AMO是等邊三角形，
∴∠A=∠MOA=60°，
∴∠MOD=30°，∠D=30°，
∴DM=OM=10
②過點M作MF⊥OA於點F，
設AF=x，
∴OF=10﹣x，
∵AM=12，OA=OM=10，
由勾股定理可知：122﹣x2=102﹣（10﹣x）2
∴x=
，
∴AF=
，
∵MF∥OD，
∴△AMF∽△ADO，
∴
，
∴
，
∴AD=
∴MD=AD﹣AM=
（2）當點M位於
之間時，
連接BC，
∵C是
的重點，
∴∠B=45°，
∵四邊形AMCB是圓內接四邊形，
此時∠CMD=∠B=45°，
當點M位於
之間時，
連接BC，
由圓周角定理可知：∠CMD=∠B=45°
綜上所述，∠CMD=45°
【點評】本題考查圓的綜合問題，涉及圓周角定理，勾股定理，相似三角形的判定與*質，含30度角的直角三角形*質，解方程等知識，綜合程度較高，需要學生靈活運用所學知識．
知識點：各地中考
題型：解答題
