如圖，AC是矩形ABCD的對角線，⊙O是△ABC的內切圓，現將矩形ABCD按如圖所示的方式摺疊，使點D與點O重...

問題詳情：

如圖，AC是矩形ABCD的對角線，⊙O是△ABC的內切圓，現將矩形ABCD按如圖所示的方式摺疊，使點D與點O重合，摺痕為FG，點F，G分別在AD，BC上，連結OG，DG，若OG⊥DG，且⊙O的半徑長為1，則BC+AB的值　　．

【回答】

2+4　．

【考點】三角形的內切圓與內心；矩形的*質；翻折變換（摺疊問題）．

【分析】設圓0與BC的切點為M，連接OM，由切線的*質可知OM⊥BC，然後*△OMG≌△GCD，得到OM=GC=1，CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2．設AB=a，BC=a+2，AC=2a，從而可求得∠ACB=30°，從而得到，故此可求得AB=，則BC=+3．

【解答】解：如圖所示：設圓0與BC的切點為M，連接OM．

∵BC是圓O的切線，M為切點，

∴OM⊥BC．

∴∠OMG=∠GCD=90°．

由翻折的*質可知：OG=DG．

∵OG⊥GD，

∴∠OGM+∠DGC=90°．

又∵∠MOG+∠OGM=90°，

∴∠MOG=∠DGC．

在△OMG和△GCD中，，

∴△OMG≌△GCD．

∴OM=GC=1．

CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2．

∵AB=CD，

∴BC﹣AB=2．

設AB=a，則BC=a+2．

∵圓O是△ABC的內切圓，

∴AC=AB+BC﹣2r．

∴AC=2a．

∴．

∴∠ACB=30°．

∴，即．

解得：a=．

∴AB=，BC=AB+2=．

所有AB+BC=4．

故*為：4．

【點評】本題主要考查的是切線的*質、翻折的*質、全等三角形的*質和判定、特殊鋭角三角函數值，求得∠ACB=30°是解題得關鍵．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：填空題