矩形ABCD一條邊AD=8,將矩形ABCD摺疊,使得點B落在CD邊上的點P處.(1)如圖①,已知摺痕與邊BC交...
問題詳情:
矩形ABCD一條邊AD=8,將矩形ABCD摺疊,使得點B落在CD邊上的點P處.
(1)如圖①,已知摺痕與邊BC交於點O,連接AP,OP,OA.
① 求*:△OCP∽△PDA;
② 若△OCP與△PDA的面積比為14,求邊AB的長.
(2)如圖②,在(1)的條件下,擦去AO和OP,連接BP.動點M在線段AP上(不與點P,A重合),動點N在線段AB的延長線上,且BN=PM,連接MN交PB於點F,作ME⊥BP於點E.試問動點M,N在移動的過程中,線段EF的長度是否發生變化?若不變,求出線段EF的長度;若變化,説明理由.
【回答】
(1)①*:如圖①,∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠C=∠D=∠B=90°,∴∠1+∠3=90°.
由摺疊可得∠APO=∠B=90°,
∴∠1+∠2=90°.∴∠3=∠2.
又∵∠C=∠D,∴△OCP∽△PDA.
②解:∵△OCP與△PDA的面積比為14,且△OCP∽△PDA,
∴==.∴CP=AD=4.
設OP=x,則易得CO=8-x.
在Rt△PCO中,∠C=90°,
由勾股定理得 x2=(8-x)2+42.
解得x=5.
∴AB=AP=2OP=10.
(第25題)
(2)解:作MQ∥AN,交PB於點Q,如圖②.
∵AP=AB,MQ∥AN,∴∠APB=∠ABP=∠MQP.
∴MP=MQ.又BN=PM,∴BN=QM.
∵MQ∥AN,∴∠QMF=∠BNF,∠MQF=∠FBN,
∴△MFQ≌△NFB.∴QF=FB.
∴QF=QB. [來源:學&科&網Z&X&X&K]
∵MP=MQ,ME⊥PQ,∴EQ=PQ.
∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB.
由(1)中的結論可得PC=4,BC=8,∠C=90°.
∴PB==4,∴EF=PB=2.
∴在(1)的條件下,點M,N在移動的過程中,線段EF的長度不變,它的長度恆為2.
知識點:特殊的平行四邊形
題型:解答題