如圖，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=．動點P從A點出發，沿AB方向以每秒5個單位長度的速度...
來源：國語幫 1.87W
問題詳情：
如圖，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=
．動點P從A點出發，沿AB方向以每秒5個單位長度的速度向B點勻速運動，動點Q從C點同時出發，以相同的速度沿CA方向向A點勻速運動，當點P運動到B點時，P、Q兩點同時停止運動，以PQ為邊作正△PQM（P、Q、M按逆時針排序），以QC為邊在AC上方作正△QCN，設點P運動時間為t秒．
（1）求cosA的值；
（2）當△PQM與△QCN的面積滿足S△PQM=
S△QCN時，求t的值；
（3）當t為何值時，△PQM的某個頂點（Q點除外）落在△QCN的邊上．
【回答】
解：（1）如圖1中，作BE⊥AC於E．
∵S△ABC=
•AC•BE=
，∴BE=
．在Rt△ABE中，AE=
=6，∴coaA=
=
=
．
（2）如圖2中，作PH⊥AC於H．
∵PA=5t，PH=3t，AH=4t，HQ=AC﹣AH﹣CQ=9﹣9t，∴PQ2=PH2+HQ2=9t2+（9﹣9t）2．
∵S△PQM=
S△QCN，∴
•PQ2=
×
•CQ2，∴9t2+（9﹣9t）2=
×（5t）2，整理得：5t2﹣18t+9=0，解得t=3（捨棄）或
，∴當t=
時，滿足S△PQM=
S△QCN．
（3）①如圖3中，當點M落在QN上時，作PH⊥AC於H．
易知：PM∥AC，∴∠MPQ=∠PQH=60°，∴PH=
HQ，∴3t=
（9﹣9t），∴t=
．
②如圖4中，當點M在CQ上時，作PH⊥AC於H．
同法可得PH=
QH，∴3t=
（9t﹣9），∴t=
．
綜上所述：當t=
s或
s時，△PQM的某個頂點（Q點除外）落在△QCN的邊上．
知識點：各地中考
題型：綜合題
