如圖①，在中，，，．點從點出發，沿折線以每秒5個單位長度的速度向點運動，同時點從點出發，沿以每秒2個單位長度的...

問題詳情：

如圖①，在中，，，．點從點出發，沿折線以每秒5個單位長度的速度向點運動，同時點從點出發，沿以每秒2個單位長度的速度向點運動，點到達點時，點、同時停止運動．當點不與點、重合時，作點關於直線的對稱點，連結交於點，連結、．設點的運動時間為秒．

（1）當點與點重合時，求的值．

（2）用含的代數式表示線段的長．

（3）當為鋭角三角形時，求的取值範圍．

（4）如圖②，取的中點，連結．當直線與的一條直角邊平行時，直接寫出的值．

【回答】

（1）；（2）或；（3）或；（4）或.

【解析】

（1）由題意直接根據AB=4，構建方程進行分析求解即可；

（2）由題意分兩種情形：當點P在線段AB上時，首先利用勾股定理求出AC，再求出AE即可解決問題．當點P在線段BC上時，在Rt△PCE中，求出CE即可；

（3）根據題意求出兩種特殊情形下△PDQ是等腰直角三角形時t的值，即可求解當△PDQ為鋭角三角形時t的取值範圍；

（4）根據題意分兩種情形：如圖7，當點P在線段AB上，QM∥AB時以及如圖8，當點P在線段BC上，QM∥BC時，分別求解即可．

【詳解】

解：（1）當點與點重合時，．解得．

（2）在中，，，所以，，．

如圖3，當點在上時，在中，．

所以．

如圖4，當點在上時，在中，，．

所以．

（3）先考慮臨界值等腰直角三角形，那麼．

如圖5，當點在上時，在中，．

而，

由，得．解得．

如圖6，當點在上時，在中，．

而，

由，得，解得．

再數形結合寫結論．

當為鋭角三角形時，，或．

（4）的值為或．

如圖7，當點在上時，延長交於點．

作於，作於．

由，是的中點，可知是的中點．

在中，，所以．

在中，．

由，解得．

如圖8，當點在上時，作於．

由，是的中點，可知．

在中，，所以．

在中，．

由，得，解得．

【點睛】

本題屬於幾何變換綜合題，考查解直角三角形，平行線的*質，等腰直角三角形的判定和*質等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會利用參數構建方程解決問題.

知識點：等腰三角形

題型：綜合題