如圖,已知在矩形ABCD中,AD=10,CD=5,點E從點D出發,沿線段DA以每秒1個單位長的速度向點A方向移...
問題詳情:
如圖,已知在矩形ABCD中,AD=10,CD=5,點E從點D出發,沿線段DA以每秒1個單位長的速度向點A方向移動,同時點F從點C出發,沿*線CD方向以每秒2個單位長的速度移動,當B、E、F三點共線時,兩點同時停止運動,此時BF⊥CE.設點E移動的時間為t(秒).
(1)求當t為何值時,兩點同時停止運動;
(2)求當t為何值時,EC是∠BED的平分線;
(3)設四邊形BCFE的面積為S,求S與t之間的函數關係式,並寫出t的取值範圍;
(4)求當t為何值時,△EFC是等腰三角形.(直接寫出*)
【回答】
【考點】四邊形綜合題.
【分析】(1)B,E,F三點共線時,滿足△FED∽△FBC,結合行程問題可以得出關於t的比例式,求出t的值;
(2)∠BEC=∠BFC.可以轉化為∠BEC=∠BCE.即BE=BC.得出關於t的方程,求出值;
(3)求S與t之間的函數關係式,可以將四邊形BCFE的面積分成S△BCE,S△ECF兩部分,結合(1)確定t的取值範圍;
(4)根據等腰三角形的*質,分EF=EC,EC=FC,EF=FC三種情況討論.
【解答】解:(1)當B,E,F三點共線時,兩點同時停止運動,如圖所示.
由題意可知:ED=t,BC=10,FD=2t﹣5,FC=2t.
∵ED∥BC,
∴△FED∽△FBC.
∴=.
∴=.
解得t=5.
∴當t=5時,兩點同時停止運動;
(2)在Rt△BCF和Rt△CDE中,
∵∠BCF=∠CDE=90°,==2,
∴Rt△BCF∽Rt△CDE.
∴∠BFC=∠CED.
∵AD∥BC,
∴∠BCE=∠CED.若∠BEC=∠BFC,則∠BEC=∠BCE.即BE=BC.
∵52+(10﹣t)2=102,
解得 t1=10+5(捨去),t2=10﹣5.
即當t=10﹣5時,EC是∠BED的平分線.
(3)分兩種情況討論:①當F在線段CD上時:S四邊形BCFE=S梯形BCDE﹣S△EDF=(t+10)×5﹣t(5﹣2t)=t2+25;
②當F在CD延長線上時:
S四邊形BCFE=S梯形BCDE+S△EDF=(t+10)×5+t(2t﹣5)=﹣t2+25;
∴S=﹣t2+25(0≤t≤5);
(4)△EFC是等腰三角形有三種情況:
①若EF=EC時,則點F只能在CD的延長線上,
∵EF2=(2t﹣5)2+t2=5t2﹣20t+25,
EC2=52+t2=t2+25,
∴5t2﹣20t+25=t2+25.
∴t=5或t=0(捨去);
②若EC=FC時,
∵EC2=52+t2=t2+25,FC2=4t2,
∴t2+25=4t2.
∴t=;
③若EF=FC時,
∵EF2=(2t﹣5)2+t2=5t2﹣20t+25,FC2=4t2,
∴5t2﹣20t+25=4t2.
∴t1=10+5(捨去),t2=10﹣5.
∴當t的值為5,或10﹣5時,△EFC是等腰三角形.
知識點:平行四邊形
題型:解答題