如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動點P從點D出發沿DA向終點A運動，同時動點Q從點A出發沿對角線A...

問題詳情：

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動點P從點D出發沿DA向終點A運動，同時動點Q從點A出發沿對角線AC向終點C運動．過點P作PE∥DC，交AC於點E，動點P、Q的運動速度是每秒1個單位長度，運動時間為t秒，當點P運動到點A時，P、Q兩點同時停止運動．

（1）用含有t的代數式表示PE=　　　　　　；

（2）探究：當t為何值時，四邊形PQBE為梯形？

（3）是否存在這樣的點P和點Q，使△PQE為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的t的值；若不存在，請説明理由．

【回答】

 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠D=90°，AB=DC=3，AD=BC=4，

∴在Rt△ACD中，利用勾股定理得：AC==5，

∵PE∥CD，

∴∠APE=∠ADC，∠AEP=∠ACD，

∴△APE∽△ADC，

又∵PD=t，AD=4，AP=AD﹣PD=4﹣t，AC=5，DC=3，

∴==，即==，

∴PE=﹣t+3．

故*為：﹣t+3；

（2）若QB∥PE，四邊形PQBE是矩形，非梯形，

故QB與PE不平行，

當QP∥BE時，

∵∠PQE=∠BEQ，

∴∠AQP=∠CEB，

∵AD∥BC，

∴∠PAQ=∠BCE，

∴△PAQ∽△BCE，

由（1）得：AE=﹣t+5，PA=4﹣t，BC=4，AQ=t，

∴==，即==，

整理得：5（4﹣t）=16，

解得：t=，

∴當t=時，QP∥BE，而QB與PE不平行，此時四邊形PQBE是梯形；

（3）存在．

分兩種情況：

當Q在線段AE上時：QE=AE﹣AQ=﹣t+5﹣t=5﹣t，

（i）當QE=PE時，5﹣t=﹣t+3，

解得：x=；

（ii）當QP=QE時，∠QPE=∠QEP，

∵∠APQ+∠QPE=90°，∠PAQ+∠QEP=90°，

∴∠APQ=∠PAQ，

∴AQ=QP=QE，

∴t=5﹣t，

解得，t=；

（iii）當QP=PE時，過P作PF⊥QE於F（如圖1），

可得：FE=QE=（5﹣t）=，

∵PE∥DC，∴∠AEP=∠ACD，

∴cos∠AEP=cos∠ACD==，

∵cos∠AEP===，

解得t=；

當點Q在線段EC上時，△PQE只能是鈍角三角形，如圖2所示：

∴PE=EQ=AQ﹣AE，AQ=t，AE=﹣t+5，PE=﹣t+3，

∴﹣t+3=t﹣（﹣t+5），

解得nt=．

綜上，當t=或t=或t=或t=時，△PQE為等腰三角形．

知識點：相似三角形

題型：解答題