在正方形ABCD中,O是AD的中點,點P從A點出發沿A→B→C→D的路線勻速運動,移動到點D時停止.(1)如圖...
問題詳情:
在正方形ABCD中,O是AD的中點,點P從A點出發沿A→B→C→D的路線勻速運動,移動到點D時停止.
(1)如圖1,若正方形的邊長為12,點P的運動速度為2單位長度/秒,設t秒時,正方形ABCD與∠POD重疊部分的面積為y.
①求當t=4,8,14時,y的值.②求y關於t的函數解析式.
(2)如圖2,若點Q從D出發沿D→C→B→A的路線勻速運動,移動到點A時停止.P、Q兩點同時出發,點P的速度大於點Q的速度.設t秒時,正方形ABCD與∠POQ(包括邊緣及內部)重疊部分的面積為S,S與t的函數圖象如圖3所示.
①P,Q兩點在第______秒相遇;正方形ABCD的邊長是______.
②點P的速度為______單位長度/秒;點Q的速度為______單位長度/秒.
【回答】
①(Ⅰ)當t=4時,如圖1①.
∵AP=2×4=8,OA=6,
∴S△OAP=×AP×OA=24,
∴y=S正方形ABCD﹣S△OAP=144﹣24=120;(1分)
(Ⅱ)當t=8時,如圖1②.
∵AB+BP=2×8=16,AB=12,
∴BP=4,∴CP=12﹣4=8,
∴y=(OD+CP)×CD=×(6+8)×12=84;(2分)
(Ⅲ)當t=14時,如圖1③.
∵AB+BC+CP=2×14=28,AB=BC=CD=12,
∴DP=12×3﹣28=8,
∴y=S△ODP=×DP×OD=24;(3分)
②分三種情況:
(Ⅰ)當0≤t≤6時,點P在邊AB上,如圖1①.
∵AP=2t,OA=6,
∴S△OAP=×AP×6=6t,(4分)
∴y=S正方形ABCD﹣S△OAP=144﹣6t;
(Ⅱ)當6<t≤12時,點P在邊BC上,如圖1②.
∵AB+BP=2t,AB=CD=12,
∴CP=24﹣2t,
∴y=(OD+CP)×CD=×(6+24﹣2t)×12=180﹣12t;(5分)
(Ⅲ)當12<t≤18時,點P在邊CD上,如圖1③.
∵AB+BC+CP=2t,AB=BC=CD=12,
∴DP=36﹣2t,
∴y=S△ODP=×DP×OD=108﹣6t.(6分)
綜上可知,y=;
(2)①∵t=0時,S=S正方形ABCD=16,
∴正方形ABCD的邊長=4.(7分)
∵t=4時,S=0,
∴P,Q兩點在第4秒相遇;(8分)
②∵S與t的函數圖象由5段組成,
∴P,Q相遇於C點,
∵時間相同時,速度之比等於路程之比,而點P運動的路程=點Q運動的路程的2倍,
∴點P的速度=點Q的速度的2倍.
設點Q的速度為a單位長度/秒,則點P的速度為2a單位長度/秒.
∵t=4時,P,Q相遇於C點,正方形ABCD的邊長為4,
∴4(a+2a)=4×3,
∴a=1.
故點P的速度為2單位長度/秒,點Q的速度為1單位長度/秒.(10分)
知識點:課題學習 選擇方案
題型:綜合題