如圖，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=6，點E從點D出發，沿DA方向以每秒1個單位的速度向點A運動，點F...
問題詳情：
如圖，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=6，點E從點D出發，沿DA方向以每秒1個單位的速度向點A運動，點F從點B出發，沿*線AB以每秒3個單位的速度運動，當點E運動到點A時，E、F兩點停止運動．連結BD，過點E作EH⊥BD，垂足為H，連結EF，交BD於點G，交BC於點M，連結CF．給出下列結論：①△CDE∽△CBF；②∠DBC=∠EFC；③
=
；④GH的值為定值
；⑤若GM=3EG，則tan∠FGB=
上述結論中正確的個數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【回答】
B【考點】相似形綜合題．
【專題】壓軸題；數形結合．
【分析】根據
=
可以判斷①正確；根據△DCB∽△ECF可以判斷②正確；根據△EDC∽△EHG得
，由AB=DC可知③錯誤；根據△DEH∽△DBA求出EH=
，HG=
故④正確；根據已知條件可以*△AEF是等腰三角形，列出方程6﹣t=2+3t，求出t，得到DE=1，根據tan∠BGF=tan∠DCE=
，故⑤錯誤．
【解答】解：作CN⊥BD，連接AC．
∵四邊形ABCD是矩形，AD∥BC，AB=DC，
∴∠CDA=∠DCB=∠DAB=∠ABC=90°，
∵
，
，
∴
，
∵∠CDE=∠FBC=90°
∴△CDE∽△CBF，故①正確，
∴∠DCE=∠BCF，
∵∠DCE+∠BCE=90°，
∴∠BCE+∠BCF=90°，
∴∠ECD=90°，
∵
，
∴
，
∵∠DCB=∠ECF
∴△DCB∽△ECF，
∴∠DBC=∠EFC，故②正確，
∴∠CDB=∠CEF，
∵∠CDB+∠DCN=90°，∠DCN+∠NCB=90°，
∴∠DCB=∠NCB=∠CEF，
∵CN⊥BD，EH⊥DB，
∴CN∥EH，
∴∠NCE=∠CEH，
∴∠ECB=∠HEG，
∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠ECB，
∴∠DEC=∠HEG，
∵∠EDC=∠EHG=90°，
∴△EDC∽△EHG，
∴
，
∵AB=DC，
∴
，故③錯誤，
∵AD=BC=6，AB=2，
∴BD=
=2
，
∵∠EDH=∠ADB，∠EHD=∠DAB，
∴△DEH∽△DBA，
∴
，
∴
，
∴EH=
，
∵
，
∴
，
∴HG=
，故④正確．
∵BM∥ED，MG=3EG，
∴
，
∴BM=3t，
∵BF=3t，
∴MB=BF，∵∠MBF=90°
∴∠MFB=45°，
∵∠EAF=90°，
∴∠AEF=∠AFE=45°，
∴AE=AF，
∴6﹣t=2+3t
∴t=1，DE=1，
∵∠FGB=∠EGH=∠DCE，
∴tan∠BGF=tan∠DCE=
=
，故⑤錯誤．
綜上所述①②④正確．
故選B．
【點評】本題考查了相似三角形的判定和*質、矩形的*質、等腰三角形的*質和判定、三角函數等知識，綜合*較強，利用同角的餘角相等*角相等是解題的關鍵，本題還用到方程的思想解決線段的長度問題．
知識點：相似三角形
題型：選擇題
