如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AE⊥BD，垂足為E，ED=3BE，點P、Q分別在BD、AD上，則AP+PQ...
來源：國語幫 2.97W
問題詳情：
如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AE⊥BD，垂足為E，ED=3BE，點P、Q分別在BD、AD上，則AP+PQ最小值為________． 
【回答】
【考點】勾股定理，矩形的*質，軸對稱-最短路線問題，相似三角形的判定與*質 【解析】【解答】解：設BE=x，則DE=3x， ∵四邊形ABCD為矩形，且AE⊥BD， ∴△ABE∽△DAE， ∴AE2=BE•DE，即AE2=3x2 ， ∴AE= 
x， 在Rt△ABE中，由勾股定理可得AB2=AE2+BE2 ， 即32=（ 
x）2+x2 ， 解得x= 
， ∴AE= 
，DE= 
，BE= ， ∴AD=3 ， 如圖，設A點關於BD的對稱點為A′，連接A′D，PA′， 
則A′A=2AE=3 
=AD=A′D ∴△AA′D是等邊三角形， ∵PA=PA′， ∴當A′、P、Q三點在一條線上時，A′P+PQ最小， 又垂線段最短可知當PQ⊥AD時，A′P+PQ最小， ∴AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE= 
， 故*是： ． 【分析】（1）已知AE⊥BD，ED=3BE，因此*△ABE∽△DAE，表示出AE的長，在Rt△ABE中，運用勾股定理求出AE，DE，BE的長，再運用勾股定理或求三角形的面積法求出AD的長。根據兩點之間線段最短，添加輔助線將AP和PQ轉化到同一條線段上，因此作A點關於BD的對稱點為A′，連接A′D，PA′，可*得△AA′D是等邊三角形，由垂線段最短可知當PQ⊥AD時，A′P+PQ最小，即可求出結果。
三.<b >解答題</b>
知識點：特殊的平行四邊形
題型：填空題
