在平面直角座標系中,點A(0,a)、B(b,0)且a>|b|.(1)若a、b滿足a2+b2﹣8a﹣4b+20=...
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問題詳情:
在平面直角座標系中,點A(0,a)、B(b,0)且a>|b|.
(1)若a、b滿足a2+b2﹣8a﹣4b+20=0.
①求a、b的值;
②如圖1,在①的條件下,第一象限內以AB為斜邊作等腰Rt△ABC,請求四邊形AOBC的面積S;
(2)如圖2,若將線段AB沿x軸向正方向移動a個單位得到線段DE(D對應A,E對應B)連接DO,作EF⊥DO於F,連接AF、BF,判斷AF與BF的關係,並説明理由.
【回答】
【解答】解:(1)①∵a2+b2﹣8a﹣4b+20=0,
∴(a﹣4)2+(b﹣2)2=0,
∴a=4,b=2;
②∵A(0,4),B(2,0),
∴AB==2,[來源:]
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AC=BC=,[來源:學*科*網]
∴四邊形AOBC的面積S=×OA×OB+×AC×BC=4+5=9;
(2)結論:FA=FB,FA⊥FB,理由如下:
如圖2,作FG⊥y軸,FH⊥x軸垂足分別為G、H,
∵A(0,a)向右平移a個單位到D,
∴點D座標為(a,a),點E座標為(a+b,0),
∴∠DOE=45°,[來源:學#科#網]
∵EF⊥OD,
∴∠OFE=90°,∠FOE=∠FEO=45°,
∴FO=EF,
∴FH=OH=HE=(a+b),
∴點F座標為(,),
∴FG=FH,四邊形FHOG是正方形,
∴OG=FH=,∠GFH=90°,
∴AG=AO﹣OG=a﹣=,BH=OH﹣OB=﹣b=,
∴AG=BH,
在△AFG和△BFH中,
,
∴△AFG≌△BFH,
∴FA=FB,∠AFG=∠BFH,
∴∠AFB=∠AFG+∠BFG=∠BFH+∠BFG=90°,
∴FA=FB,FA⊥FB.
知識點:三角形全等的判定
題型:解答題