（2015新課標全國Ⅰ理科）如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一側的兩點，...
問題詳情：
（2015新課標全國Ⅰ理科）如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一側的兩點，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC．
（1）*：平面AEC⊥平面AFC；
（2）求直線AE與直線CF所成角的餘弦值．
【回答】
（1）見解析；（2）
.
【解析】試題分析：（Ⅰ）連接BD，設BD∩AC=G，連接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨設GB=1易*EG⊥AC，通過計算可*EG⊥FG，根據線面垂直判定定理可知EG⊥平面AFC，由面面垂直判定定理知平面AFC⊥平面AEC；（Ⅱ）以G為座標原點，分別以
的方向為
軸，y軸正方向，
為單位長度，建立空間直角座標系G-xyz，利用向量法可求出異面直線AE與CF所成角的餘弦值.
試題解析：（Ⅰ）連接BD，設BD∩AC=G，連接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨設GB=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=
.
由BE⊥平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC，
又∵AE⊥EC，∴EG=
，EG⊥AC，
在Rt△EBG中，可得BE=
，故DF=
.
在Rt△FDG中，可得FG=
.
在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=
，DF=
可得EF=
，
∴
，∴EG⊥FG，
∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，
∵EG
面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC.
（Ⅱ）如圖，以G為座標原點，分別以
的方向為
軸，y軸正方向，
為單位長度，建立空間直角座標系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－
，0），E（1,0,
），F（－1,0，
），C（0，
，0），∴
=（1，
，
），
=（-1，-
，
）.…10分
故
.
所以直線AE與CF所成的角的餘弦值為
.
考點：空間垂直判定與*質；異面直線所成角的計算；空間想象能力，推理論*能力
知識點：點 直線 平面之間的位置
題型：解答題
