如圖，已知四稜錐P－ABCD的底面是邊長為2的菱形，∠BCD＝60°，點E是BC邊的中點，AC，DE交於點O，...

問題詳情：

如圖，已知四稜錐P－ABCD的底面是邊長為2的菱形，∠BCD＝60°，點E是BC邊

的中點，AC，DE交於點O，PO＝2，且PO⊥平面ABCD.

（1）求*：PD⊥BC；

（2）在線段AP上找一點F，使得BF∥平面PDE，

並求此時四面體PDEF的體積．

【回答】

（1）由題可得△BCD為正三角形，E為BC中點，故DE⊥BC.  

又PO⊥平面ABCD，BC平面ABCD，則PO⊥BC，          

而DE∩PO＝O，平面，

所以BC⊥平面PDE.                                     

又PD平面PDE，故PD⊥BC.                             

（2）取AP中點為F，再取PD中點為G，連結FG.

則FG為△PAD中位線，故FG AD，

又BE AD，所以FGBE，於是四邊形BFGE為平行四邊形，

因此BF∥EG.又BF平面PDE，EG平面PDE,

所以BF∥平面PDE.                                       

由（1）知，BC⊥平面PDE.則有BC⊥PE，BC⊥DE，

而BC∥FG，故FG⊥PE，FG⊥DE，且DE∩PE＝E，

所以FG⊥平面PDE.                                      

於是四面體PDEF的體積為V=S△PDE·FG＝××2××1＝1.  

另解（等體積轉化）：因為BF//面PDE，則B，F兩點到平面PDE的距離相等，

所以四面體PDEF的體積等於四面體PDEB，

因為PO⊥平面ABCD，所以VP-BDE=·PO·S△BDE=1.

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題